我生活中的數學

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資料來源: 科學研習月刊49-8

文/黃敏晃台大數學系退休

1數學無用?

有人請筆者去演講，題目是「數學與生活情境之連結」。事後整理講稿，又補充資料，寫成此文，目的想說明生活中常會應用到數學。希望用筆者的生活經驗作示範，拋磚引玉，讓讀者反思，生活中是否也有類似的，甚至更精彩的案例，進而領悟到數學對生活的重要。
數學是許多中、小學生討厭的學科之一。原因複雜，其一是感覺「數學沒路用 J 。小孩的生活單純，除了購物外，他們不太會感受到數學知識的需要。沒用的東西幹嘛學？其實小孩的世界處處充滿數學的痕跡。例1中的每句話，都是筆者親自聽到不同孩子說的，請注意其中的數學成份。

例1
1.這包糖果蠻大包，一定超過 40 個，足夠分給全班了（ < 40 人），每人分一個還有剩，就買這包好了。
2.這台電梯可載七位 70 公斤的大人，雖然現在擠進 10 人，但都是不到 50 公斤的小孩，所以訊號沒響。
3.我發現台北市 200 號以上的公車，都是兩段收費。
4.橄欖球不完全是圓的，彈跳起來不規則。
5.這個風箏做成線對稱的菱形，左右受力均勻，飛在空中時，才不會被吹到打轉。

即使是低年級的小朋友，他們的生活中也無法免除數學的影響。筆者聽過一位媽媽描述，剛上小一的兒子，尚未學到數的合成分解前的趣事，請看例 2 中母子的電話對話。
例 2
「媽，我要 5 塊錢買橡皮擦。」
「早上不是才給你一個 10 元銅板嗎？用這個銅板就可以買了。」
「但我已經把它用掉了。」
「你是怎麼用掉的？」
「我要打（這通）電話給你，電話機上寫1元，5元，10元都可用，我就投下去了。」

如果老師和家長能夠善用孩子的數學經驗，應該會讓孩子對數學是否有用」這件事，產生不同看法，也影響孩子學習數學的動機，讓他們更積極、主動，得到更好的學習效果。事實上，別人的經驗到底隔了一層，不如自己的經驗那麼親切、深刻。所以，師長若能掌握自家孩子的經驗，助益當然要大得多。

師長要幫助孩子前，最好先自我實踐。自己不會的事情不但沒感覺，講出來的話還會心虛。即使你的身份不是老師或家長，也可以試試看，從自己的生活經驗中，挖出一些有數學味道的東西，然而該怎麼做呢？筆者的心得是，進行這種行為全靠反省、檢討。其實，人類之所以有別於其他動物，全靠我們夠大的腦袋瓜，約有 1400c . c.這麼大，可以做這樣的腦部運作，從經驗中吸取教訓，調整行為，造出全新的事物。

萬事起頭難，尤其是像「生活經驗中的數學要素」，常會和你擦身而過。若不隨時留意，保持高度警覺，尤其是量感方面，一定抓不住。所以，筆者提供自己的做法做為參考。

2往事歷歷

反省與檢討，一定要養成習慣才會有效。筆者約在 1986 年左右，感到這件工作的重要性後，開始自我訓練。當時筆者還是個夜貓子，午夜最有空，洗過澡後，會泡杯咖啡或一壺濃茶，邊喝邊想，今天發生了什麼事？哪些和數學有關？將整理後登錄在筆記簿上備查。筆者文章裡或演講時談到的案例，大多來自筆記。這個習慣仍持續到現在，退休後生活作息改變，早睡早起，反思活動就留到每天早餐後。所以，當友人和學生羨慕筆者找得到這麼多與生活相關的數學案例時，他們可能沒有連想到背後的辛酸。筆者曾說藝人是「台上五分鐘，台下十年功。世間的天才很少，大部分的成就都有前因。

一個人會對某件事付出努力，是因他有正確的態度，即把它當作最重要的事情來看待。許多老師說，數學和生活的連接很重要，但常常只是嘴巴說說，並未實際從生活中尋求含有數學成份的案例，這種態度很難說服學生，因為學生很容易看出你「誠意不足」。

有次看電視，講到許多節目都有諧星幫忙潤滑，總能在關鍵時刻接話，講出幽默橋段，連接適當故事，令人佩服時，有位來賓爆料說，其實這些諧星們經常聚餐，互相切磋在何種狀況說什麼話，可能得到什麼效果。他們的專業精神，值得我們學習。為方便起見，筆者們從購物行為說起，從中牽涉到一些數學運算。讀者可就例 3 的項目作練習。若加入些曲折、令人意外的情節，更是講課時（或寫作）的絕佳題材。

例3
1.造數－用身上的錢湊出貨物價款。
2.加法－買幾樣貨品，計算各貨款的和。
3.減法－拿出大鈔，付錢找零。
4.乘法－買同價貨物多項，求總貨款。
5.除法－好幾人同吃一桌，餐後平分付帳。
6.百分率－計算 5 ％或 10 ％的貨物稅， 15 ％的小費。
7.比價一貨比三家，同樣的貨品誰最便宜？而不同品牌，則有不同因素介入。
例 3 中的第 7 項有很多變化的，拙作「人問處處有數學」中有則選購一瓶咖啡粉的案例，可供參考。在傳統市場買菜，有時會產生 3 把青菜或 4 個頻果只要 50 元的促銷，這樣買固然方便，是否比稱斤兩便宜呢？若買的量少，價錢也不高，通常也沒人認真追究。

由於筆者個性大而化之，對小錢不甚追究，曾吃過幾次小虧。譬如說，付帳後找回的零錢，常不點算就放口袋，事後發現有誤，店家卻不認帳，幾次學乖後就比較注意了！最近和內人去那種專賣給大學生吃的簡餐店，飯後付一張千元大鈔，竟只找回 4 張百元鈔！筆者問餐價多少，老闆說各100元，那怎麼只找筆者 400 元？她連忙道歉說，誤將一張佰元鈔看成 500 元。照筆者看，她的收銀機內，各類鈔票放在清楚位置，怎有可能弄錯？

關於這點，美國的商家就好得多，他們用加法而非減法結帳，絕不馬虎：假設消費物品總價含稅為 8 . 65 美元，你拿一張 10 美元紙鈔付帳時，他們會指著貨品說 8 . 65 美元，拿出一張1美元紙鈔說 9 . 65 美元，再拿出一個 25 分的銅板（ 1 美元一 100 美分，這種銅板俗稱 quater ，即 1/4 美元），對你說 9 . 9 美元，最後再拿一個 10 分的銀角子，再對你說 10 美元。

3四捨五入

筆者常到某連鎖店買衛生紙，因為它在廣告中宣稱，同類產品它最便宜。這類衛生紙產品已然規格化，如每包 120 抽，尺寸約為止方形，大小一致，品質相差不多（每張都由兩張較薄的合成），故比較價格是有意義的。另一家在夾報廣告單上說，每小包賣 8 元。因它離筆者家較遠，筆者還是帶著那張廣告單到這家連鎖店去買。

該店門口大張看板貼著：衛生紙每小包 8 元；而店內有一處存放著由 12 小包組成一大包的貨品，有張較小的看板，寫著：每大包 99 元。筆者便拿了兩大包到櫃台結帳，收銀機「叮」的一聲，年輕的店員說：「198 元。」
當下筆者有點猶豫，到底要不要計較這「 6 元」的差額？筆者覺得產品已夠便宜，「 6 元」對筆者也無關痛癢。通常筆者都很「鄉愿」地不吭聲，但這次真的很想知道，一個店家對自家貨品價格上的「數量矛盾」有沒有察覺？有的話，又抱持何種態度？於是筆者在付她 200 元時說：「不對，你應該找我 8 元！」

她愣了一下後，冷靜地說：「沒錯，每大包99元，兩大包共198元」筆者指著門口「每小包 8 元」　的看板說：「每小包 8 元，一大包共有 12 小包， 8x 12 一 96 。所以你每大包只能收 96 元。」「小包的當然賣 8 元，但大包的是每大包 99 元。」她顯然完全沒察覺到，大包和小包的衛生紙之問，存在著某種「化聚」關係。

筆者說：「如果我買的是 24 小包，你算算是多少錢？」她說：「可是你拿的是大包的。」「你要我把它們拆開來算，才看得到它們是 24 小包嗎？」不清楚她有沒有聽懂，因為她沒回應，逕自按鈴把店長找來。一位打扮俐落的中年婦人，很有威嚴地問著：「你有什麼問題？」筆者告訴她後，她在計算機上打出 99÷12=8 . 25 給筆者看，然後說：「沒錯， 8 . 25 在四捨五入後就是 8 ，一小包是賣 8 元。」筆者真的又好氣又好笑，打出最後一張王牌說：「我不管你如何四捨五入，只問你每小包有沒有收超過 8 元？這張發票就是證據，你們比這張廣告單的店家賣的貴，照理說，你們應該用 2 倍價買回去才對。」

這時已有一大群顧客聚集在櫃台邊，她態度立刻軟下來說：「請等一下。，她打了個電話後，吩咐女店員重新打了張 192 元的發票給筆者。當天下午，筆者又經過該店，一大包 99 元的看板已經拿下來了。筆者突然感到後侮，早上不該買那麼多，不然現在就可以再去買，看他們一大包到底賣多少錢？

一般的生意邏輯是，買少稍貴，買多便宜。若每小包賣 8 元，則一大包售價應該是 96 元以下才合理。關於此事該店大可解釋為：一大包 99 元本是它的售價，當競爭對手打出每小包 8 元的低價後，只好跟進。臨時在各連鎖店貼出每小包 8 元的看板，以免砸了「這類貨品最便宜」的招牌，只是忘了兩者間的連結。上述案例給了筆者兩點感想，一是很多店家的數學程度有很大的改進空問，該店長的「四捨五入」運用，真是令人慚愧！我國的數學教育，到底出了什麼問題？竟有人把「四捨五入」和生活情境如此連結。其次，積極面對是有效的。筆者的個性低調，多一事不如少一事，讓店家佔點小便宜並不在意，人生何苦斤斤計較？但想到這些人若不加以點醒，可能變本加厲，最後害人害己，故盡點社會教育的責任，也是應該。

4無所不在

前陣子，兒子媳婦開車載筆者去診所看病，途經一大幅廣告看板，宣傳「月息 4 分」的貸款店。關於「 4 分」的意義，車上 3 人竟有二種不同解釋：

4/100或4/1000到底哪個才是止確的？

對某種數據做「解讀，是生活中常遇到的「溝通」問題，其判斷需要做簡單的估計：假設每月利息是4/100，則一年利息（此處暫時忽略複利的影響），差不多是4/1000×12=48/1000＜5/100

這樣算來，年利率幾乎等於銀行貸款的行情，輪不到打此廣告的「高利貸」店來做此生意。由此推論可知，月息 4 分表示每個月要繳納 4 ％的利息，比如說借款 100 萬元，每個月需交利息 4 萬元，一年的利息是 48 萬元，幾乎是所借款項的一半。所以，美國人將放高利貸比喻為 loan Shark （貸款鯊魚），會吃人的。

數學除了「解讀」溝通，還有更洞察人心的溝通案例（例 4 ）。

例 4
有次搭捷運從公館到淡水，正是上班人潮最多的時候。人老又撐著拐杖，很快就有好心的年輕女生讓座，謝座坐下不久後，她的手機響起，聽其對話知道是一起要去淡水的朋友，且在同一班列車上（同時在古亭站），但不同車廂（他在第 2 ，她在第 5 ） • 兩人顯然很想立刻見面，要在擁擠的車廂內找人相當困難，只好作罷。

筆者想了想後告訴她，捷運每節車廂有四個門，把整個車廂分成十二個區塊，如圖一，每個區塊估計約有 20人，在 20 人中找到朋友，遠比在整個車廂 200 多人中找到朋友容易許多。她聽完立刻用手機回 call ，溝通了她的位置，他在列車抵達台北火車站前，就站在她身邊了。筆者很高興能用數學溝通，回報她讓座的善行。

這些用法雖然沒有出現在中、小學數學課本，卻是座標定位法的簡單應用，是我臨時想到的。如果你沒有把數學忘記，能活學活用，應該也用得上，下面也是最近發生的例子。

例5
女兒女婿最近搬來跟筆者和內人同住，當然歡迎。筆者把書房讓出來，雖然乘機丟了很多東西，還是有捨不得丟的老古董需要收納，於是買了幾個收納箱回來 • 收好東西後想放床下，才發現箱子太高，塞不進去。只好再量了床底板的高度，到賣場去找高度適合的箱子，才完成任務。

記得以前每兩、三年，就會想改變一下辦公室或臥房的擺設（喜新厭舊）。初次發想時採具體運作，即興的搬動書桌、櫥櫃等，看看位置是否合適？不但辛苦，效果也不好。後來就學會形式運作：先量好房間及各式家具的尺寸，按比例畫出各種可能擺設的縮小圖，判斷可行後，才具體動手。

數學對人類的最大功用，就是如例5 的「規劃」，而不是等事情發生，成敗無法改變後，再亡羊補牢。理論上，規劃可以減少失敗機率，使數學變成人類最寶貴的學問之一。所以，即使數學這麼抽象、形式，學起來這麼困難，還是各級學校的必修課程之一。

5形成推論

數學能有這麼多功能，最主要是有「推論」這個運作。「推論」源自古希臘人對幾何的探索，他們發現「眼見不一定為真」後，逐漸發展出「從大家共同承認的道理和事實（公理和公設），推論出結果」的學問，被認為是現代數學的聞端。本文暫不多談歷史與學理，僅看一些生活推理的案例。

例6
某次和數位退休老師聊天，談到很多學校遇缺不補，反而找退休老師代課。對年青的候補老師並不公平，對這個行業發展也不好。究其原因，是少子化現象，以往每年新生兒約 30 萬人，近幾年銳減到不足 20 萬人。每年少了 10 萬個學生，縱使每班學生人數略有調降（小學每班最多 30 人，國中35 人，高中 40 人），但全國總班級數仍持續下降，故相應的老師總人數（每班約配 2 位）勢必跟著調降。

倘若同一所學校內，今年退休老師數，大於減班而需要調降的老師數，理論上應加聘一些老師來任教。但是，若明年還會減班，且沒人退休，校方就不會聘用新老師，而改以退休老師代課。從這個問題出發，筆者們談到台灣未來的人口數，預測它會大幅下降，如下：假設辜灣每年出生 20 萬個嬰兒，又假設每個人的壽命為 80 歲（概略的平均年齡）。則未來辜灣的總人口數應上限為 1, 600 萬人（ 20 萬 x 80 = 1600 萬人）。

這是狀況理想化的估計，相較以往每年出生約 30 萬個嬰兒，而人口總數約 2400 萬， 2400 萬＋ 30 萬＝ 80 （歲）。由此看來，這應該是合理的計算模式。問題是，在此狀況下，教師人數只會持續下降，對想投身教職的年青人而言，並不是好消息。於此順便談談這群退休教師的看法，最近失業率持續超過 5 % ，其中流浪老師約占 2 萬人之多，要如何安置他們呢？讓筆者們先分析此問題的一些週邊狀況，如下：

A.年輕老師養成需一段時間，縱使大學畢業前已完成教育學程，也經歷了實習的磨練，但要成為一個運作順利的老師，據經驗估計至少需要五年，這也是家長們喜歡退休老師短期代課的原因。換句話說，新聘老師的頭五年是學校投資老師，這段時期他常會需要校方或資深老師幫忙協助。
B .年長（ > 50 歲）的資深老師，雖然經驗豐富，但與精力充沛的小學生一起過一天（ 07 : 30 ~ 16 : 30），常感體力不足，若想領月退俸，得滿足退休條件：年齡十服務年資≧85 , 大部分老師大學畢業時剛滿 22 歲，到 54 歲才服務滿 32 年， 54 + 32 = 86 > 85 ，故 54 或 56 歲（男生兵役）後才是屆齡退休。
C.有年長老師表示，到 50 歲就有職業倦怠症了，為符合退休條件還得拖 5 年，感覺很辛苦。筆者試問，若把月薪（約 7 萬元）分一半請一位年輕教師，分擔年長老師大部分任務（如帶一個班的級任），年長老師擔任指導的角色，直到退休，是否願意？許多年長老師回答，願意。

本提議不可能強制執行，非得要年長老師願意才能進行。好處是解決部分流浪教師的問題，而政府需支出的經費為健保與退休金等，年長老師分出一半薪水後，減輕了職務責任，幾年後也得以拿到月退的年資。看起來應該是多贏的政策，但筆者想政府（不管煎綠）不見得會採納，這還需要很多配套措施。

6用進廢退

達爾文的「進化論」中談到兩個主要進化機制，「基因突變」及「用進廢退」。本文想談的是後者，意指動物的某些器官因使用頻率的多寡，而進化或退化 • 如鯨豚類之哺乳動物，原是生活在陸地（有適合呼吸的肺，而無適合在水中吸取氧氣的鰓），後因追逐獵物，選擇到海中生活，久而久之，其手腳型態的四肢退化，逐漸進化成適合水中運動的鰭類型態。

「用進廢退」跟本文有什麼關係？筆者的觀點是，人的潛力是很大的（很想用「潛力無窮一詞，據說至今人腦被活用-activated-的腦細胞僅 5 ％左右；若能多 l ％的腦細胞被活用，應該不得了），如果筆者們能夠堅持，專注全力於一件事，定可以把這件事越做越好。這件事也許是游泳、騎單車，或是「把數學和生活情境連接」，筆者的個人案例，可做為佐證。

例7
筆者在腳踝開刀三個月之後，開始使用拐杖，因拐杖把手呈圓弧形，施力不當而使右手姆指變成媽媽手（因母親懷抱嬰兒而產生姆指相關肌腱發炎而名），連寫字都有困難，更別說作其他動作，因而開始訓練用左手，左撇子能用左手做出一般人右手能做的事，表示人體的結構左、右是對稱的。開始時筆者訓練左手做些右手常做的事，諸如吃飯或刷牙。在刷斷一根牙刷後，覺得有必要分解刷牙的基本動作，還算單純，如下：左右橫刷，上下縱刷，由裡往外挑等，練習一段時問後，才能俐落執行。
用筷子挾食物，則不如刷牙單純（不禁想起招待過來亭訪問的外國友人，第一次用筷子的窘態），由於每根手指使力的大小和方向都不相同，我以挾起一粒花生，放入口中為初級目標鍛鍊左手，直到撰寫本文時，左手還僅能用刀、叉和湯匙吃飯。

例 8
為響應節能減碳，少用冷氣，家裡買了幾架電風扇。不同款式，不同品牌，但都是零件打散裝箱運來的，需要組裝後才能使用。看懂零件圖（看圖形辨認零件），及組裝圖（弄清楚各零件之間的相互位置關係），並能按圖組裝出可以運轉的電風扇，是現代國民必備的數學能力。組裝第一架電風扇時，看圖動手，有時還要想想，有點像解數學中的非例行性問題；但第二架和第三架風扇的組裝方式雖不盡相同，但都變成例行性解題。應該是人類本能上擁有某種程度的類化能力，故相似任務很容易上手。

由此可見，人類的許多能力，包含數學能力在內，都是可以發展出來的，且越用越熟練。從筆者的生活經驗中，抽出數學要素的能力，也是經過長期發展，變成專長之一。這篇文章長了些，雖然言猶未盡，還是得結束，未談到的事情，下篇文章再談吧！