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正方體的平面截面

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資料來源: 科學研習月刊44-6

文/
黃敏晃台大數學系退休
許文化北市石牌國小退休

一、空間能力本天成?

俗語說“男女有別”，外顯的特徵與行為，如男人頭髮剪得較短，會長鬍子，有喉結，女人身材較苗條，胸部凸起，喜歡穿裙子等，明眼人一看即知。但他們內蘊的思想和能力，有什麼性別差異嗎？

思想，價值觀等都是後天形成的，只與此人過去的經驗以及受到的教養有關；能力則與先天、後天的因素都相關。如說鳥有飛翔的能力，除了有翅膀、全身骨骼有空洞組織(故不會太重)等天生因素外，後天的練習也是必要的。君不見雞和會飛的鳥一樣，先天上有相同的硬體設備，但長久受人餵養，失去了飛行的需求，後天的訓練不足，就飛不起來了。筆者都是學數學的，下面就稍微看一這方面的性別差異。

我們一般的印象中，女生在數理方面的能力要比男生差些。譬如說，在各級升學考試中女生的數學平均成績，會比男生的平均差許多。如果考試成績不算是好的表徵，我們也可以從男女生選讀的大學科系之人數，來做判斷：選讀大學第一類組科系（比較不需要很強的數理能力〉的女生，比選讀其他類組科系（需要較強的數理能力）的，在人數上要多很多。男生雖不是完全相反，筆者中的年長者，親自聽到一些美國的女生說，他們數學方面能力沒有得到良好發展的原因是，中學時候數學能力太好的女生沒有男生約妳出去（妳太精明，佔不到便宜），所以她們會寧願在數學課堂中裝傻，久而久之數學能力就真的變差了。也有人控訴說，一些美國的中小學老師在上數學課時有性別岐視：簡單的問題點女生作答，難的問題則都要求男生回答；男生怕出醜，故努力鑽研下，能力得到發展。

上段所述美國影響該國女生數學能力發展的社會因素，在台灣並不顯著，但我國學生數學能力有性別差異的事實依然存在。這是否表示我國中小學生數學能力方面的性別差異，都是天生的？我們認為不見得。讓我們看數學內部的幾何能力吧。

在數學能力的性別差異中，幾何方面的差異尤其顯著。民國 94 年第二次國中基本能力測驗的數學試題，難度比第一次要提高一些，女生的平均成績比第一次下降的幅度，比男生大了許多。依筆者兩人的猜測，一個重要的因素是，第二次基測試題中，與幾何有關的題目多了 5 題（第一次有 11 題，第二次16 題）。另外，筆者聽過一些計程車司機抱怨，女性司機駕駛汽車的能力不佳。這裡包含她們在緊急狀況時應變較慢（空間量和時間的估計能力），認路能力差（mental map腦圖在處理點和線的關係方面資訊時不是很清楚）等。

這樣說並不對女性有任何不敬之處。事實上，女性在說話表達方面的能力，比男性高出許多倍，加上他們比較有耐心，而且細心，貼心等優點，都是男性遠遠不及的。有些腦神經方面的專家認為，這些兩性的差異和左、右腦的分工有關，關鍵是身體分泌的兩性荷爾蒙雄性荷爾蒙有利右腦發展，幾何空間方面的能力屬右腦掌控；而雌性荷爾蒙則有利左腦發展，左腦管語言與程序方面的能力。換句話說，他們認為這方面的能力之發展受到先天的限制。

另一派的學者認為，這些能力的發展當然和後天的經驗與教育相關。譬如說，一般家長送小孩的禮物，女生常是洋娃娃，讓她們玩家家酒，男生則是工具型的，讓他們可以敲敲打打，或積木和火柴盒小汽車之類，引起他們堆疊和野外賽車的興趣。到他們長大些，家長也比較不介意兒子爬樹，到處亂跑，但他們怕女兒受到壞人傷害，所以比較限制她們的活動範圍。長期在這樣的條件限制下，幾何（特別是空間）能力方面的性別差異於是形成，並逐漸加大。

二、眼見為憑最真實

從上面的論述看來，數學（包含幾何，尤其是空間）方面能力的發展，與先天、後天的因素都有關。站在教育人員的立場，我們當然要強調，不管先天的差異有多大，我們都應該想辦法，讓學生把必要的能力發展出來。這裡包含更佳的教材選擇，以及教學方法的改進等等。

事實上，我們中小學在幾何方面的教學狀況並不佳，空間方面的教材更嫌不足（這點世界各國皆然），為什麼？空間是3 維（即長、寬、高）的，比平面的2 維（只有長和寬）教材要複雜許多，且大部分知識要以平面的相關知識為先備經驗。當平面幾何沒學好時，立體幾何就很難教得動了。但最主要的原因還是缺少適當的教具。譬如說，在空間中既不相交又不平行的兩條直線（因此無法放在同一平面上），它們之間的最短距離，老師只會教如何套公式求值，而不會真的拉直兩條繩子來讓學生感受，這條公式來由的直覺。

本文下面想介紹一則與空間幾何有關的教材。本教材想解決的主要問題是：用一個平面去切割一個正方體，所得到的截面可能是怎麼樣的平面圖形？

這個問題年長的筆者曾對國北師（現改名成國立台北教育大學）現職教師數學教育碩士班選修“中小學老師的幾何學”的學生提出過，也曾對大學生、高中生、國中生，較年輕的筆者甚至於在小學高年級的班上提出過。由於有適當的教具，各級學生都可作不同層次的探討，所以算是適當的空間幾何教材。

最方便的教具是粉筆盒，它雖是個長方體，但還蠻接近正方體的；學生可藉它想像平面切割的概略狀況，用各種顏色的白板筆，在它外表留下切痕；其缺點是無法真的切割，看不到確實的截面。也有人曾用保麗龍正方塊，鋸出各種截面給學生參看；雖然清楚，學生卻無法自己動手做實驗，感覺不到調整切割位置時，截面變化的動態感覺。

筆者使用的是用透明的壓克力板黏成的正方體，裡面裝水（最好再滴上紅藍墨水之類），把水面當成切割平面。此時，當我們調整盒子與桌面的相對位置，就會得到各式各樣的截面。如圖一所示，是最大的正三角形，而圖二則是一般的銳角三角形（水都集中在O點所在的那個角落）幾何免不了要做些証明，為什麼

圖一中的△ ABC 為正三角形？因為 OA = OB = OC ，而AB 、 BC 和 CA 分別是全等的直角△ OAB 、△ OBC 和△OCA的斜邊，所以有 OA = OB = OC 的結果。小學生雖無法做嚴格的証明，但這樣的論証過程，他們可以理解。到了活動的末期，他們也能模仿著提出類似的說明。

在圖二中，若 OD = OE ，則△ODF

△OEF（等邊夾直角），故 DF = EF （此時截面△DEF是個等腰三角形）。所以，在 OD ， OE 和 OF 都不相等的狀況下，△ DEF 的三邊都不等長。調整水面的D、E、F點（水量也可增減），學生就可以得到各種銳角三角形。

截面的三角形一定是銳角的三角形嗎？可不可以是直角三角形，或是鈍角三角形呢？讀者先自己想想，下文自然會有交待。一般小學裡（國中應該也有類似教具）， 1 公升的容器教具都由6 塊每邊10 公分的正方形透明壓克力板做成，故讀者應該去借用來進行自己的實驗。筆者強烈建議，讀者閱讀本文時，必要時刻一定要做些實驗來驗証。

三、有水沒水相互補

如果讀者已經做了些實驗，應該已經記錄出各種形狀的截面。除了上述的三角形外還有四邊形、五邊形和六邊形，七邊形以上的平面形並沒有出現，為什麼？仔細觀察，然後想想看，到底是什麼原因？

答案並不難，截面形狀中的每一條邊，都是水面和正方體某一面相交的線（簡稱兩面的交線）。正方體只有六個面（即上、下、左、右、前、後），交線最多只可能有六條。故截面不可能出現邊數大於等於七的平面圖形。圖三、圖四所示，是截面為五邊形和六邊形的情形。讀者請用自己的道具實驗看看，如何得到五邊形和六邊形的截面？

有些學生實驗後跟我們說，要得到五邊形和六邊形的截面，所用的水量，比形成三角形截面的水量要多很多，但也不能太滿。讀者，你認為是這樣嗎？

其實，實驗所用的水量並不需要超過半盒。因為有水和沒水的空間是互補的（補成一公升的正方體），所以把一整盒的水分裝在兩盒裡，只要我們適當調整盒子和桌面的相對位置，一定會得到一樣的截面。讀者不妨實驗看看，是不是如此？

現在請讀者在自己的正方體盒內，倒入剛好半盒的水，調整盒子和桌面的相對位置得到各種截面的形狀。你得到怎麼樣的截面圖形呢？請記錄在紙上，如圖五∼八的樣子。

圖七是將盒子的一面平置在桌面上，假設桌面為水平面，則ABCD各點都會是它們所在各邊的中點，因此，截面ABCD和底面全等，是個正方形；圖五的截面不難証明是個長方形（請讀者自行提供理由）；圖六的截面也是個長方形，調整盒子的方式是將 CG 邊平貼水平的桌面， BF 也比 DH 邊更接近桌面，此時 BN = FQ = MD = PH ，因此 MP = DH = CG = NQ 而 NQ ⊥ MN ⊥ MP ，故MNQP為一個長方形；在圖八中，D和B為頂點，而A與C各為它所在邊的中點，所以ABCD為一個菱形（非正方形，其中∠B=∠D為銳角，而∠A=∠C 為鈍角），為什麼它的四個邊等長呢？讀者請自行說明理由。

半盒水的截面，可視為是將一個正方體切成體積相等的兩半之切割面。上面的四個切割方式，所切割出來的兩半，不難看出是全等的兩半（讀者說得出道理嗎？）最有趣的切割是截面為正六邊形的切割，圖形如圖四，此截面和各邊的交點都是該邊的中點，讀者能証明此截面是個正六邊形嗎？

四、永遠永遠不相交

要証明一個六邊形為一個正六邊形時，我們得証明兩件事，即各邊等長，各角等大。
圖四中的六邊形，各邊等長嗎？如何証明？

有位小學生告訴我，該六邊形的每邊長都等於各面正方形對角線的一半，因為各面都是全等的正方形，故六邊等長。這樣的道理足夠嗎？我問他，為什麼邊長會等於正方形對角線的一半？他畫了圖九中的補助線說，把對角線的中點，和兩端點連接，這些會把正方形右上邊的直角三角形，切割成四個全等的三角形，我沒有繼續追問下去（為什麼這四個三角形會全等？），讀者若認為有必要把道理講得更清楚，請自行補充。圖10

要証明這個六邊形的六個內角相等，小學生就有點困難了。他們當然可以感覺到這個六邊形的對稱味道，不只是線對稱（如圖十所示，共有六條對稱軸，粗虛線的是三條對角線，細虛線的是對邊中點的連線），點對稱（其對稱中心是上述六條線對稱軸的交點），而且還是每旋轉60°後圖形看來毫無改變的輪轉對稱。這樣的感覺雖然不能當作證明，但卻能引導進一步証明的方向。

他們看看自己畫出來的圖四圖形說（因為手裡盛著水的正方體盒子不能轉動），如果我們轉動正方體，正六邊形會不會起變化？另一位同學問，為什麼要這樣做？「因為當這條也轉成旁邊一條邊時，它左端的角就變成右端的角了。」「轉的時候，可能會變形呢！」「對，老師說過多邊形不像三角形那樣堅固。」「那我們把每兩個相鄰都多加一條線，變成三角形。」於是他們得到如圖十一。
圖11

有了這個圖之後，國中生就不難証明，剛剛新畫出來的六條線段都等長：如圖十二所示，若正方體的邊長為2 ，且A 和C 都是它們所在邊的中點，則 CD =1 ， BD =2 ， BA =1 ，因此

，

，即這些線段都是正方體邊長的

倍，故等長。

証明了這些線段等長之後，當然就不難推論得知，這些小三角形都全等（三邊對應相等），所以其對應角也相等。因此就証出了此六邊形的六個內角為正六邊形的事實。

圖13

在某國中班証明了這個六邊形為正六邊形之後，有位同學注意到此結果的一個推論；即正六邊形的對邊是平行的，而這些互相平行的對邊又位於正方體相對且平行的兩面上。他問，這兩者是否有因果關係？

他們就此討論後，釐清了如下的道理：位於正方體相對且平行的兩個面上的兩條直線，當然是“永遠永遠不會相交的”（因為它們若相交，平行的兩個面也會有交點，不可能），但是一個平面上兩條永不相交的兩條直線，一定會平行。因為，若它們不平行，如圖十三中的L1 和L2 ，用另一條直線L 去截它們時，同側的內角之和（如圖十三中的∠ 1+ ∠ 3 和∠ 2 ＋∠ 4），不可能等於180 °（若等於180 °時，L1和L2就平行了），所以在此和小於180 °的那側，延長後就會相交而形成一個三角形（三角形的三內角之和等於180 °）。

五、有名有姓的形狀

“一個截面形狀中，位於正方體相對兩面上的兩邊為平行”之事實，對截面所形成的平面圖形，有極大限制，他們討論後歸納如下：
(1)截面若是個六邊形，不管是不是個正形，它的三雙對邊都互相平行。讀者可以自己實驗觀察，或參看圖四。
(2)截面若是個五邊形，它會有兩雙對邊位於正方體相對的面上，因此平行。由此可知，它不可能形成一個正五邊形（正五邊形的任意兩邊都不平行，為什麼呢？想想看）。請讀者自己實驗觀察，或參看圖三。我們可以綜合上述的兩點說，截面的五邊形和六邊形並不是一般的五邊形和六邊形。因為它們都帶有強烈的條件（各有兩雙和三雙對邊平行），這樣的條件在截面為四邊形時，非常明顯的呈現出來。
(3)截面是個四邊形時，這四邊位於正方體的四個面上。由於正方體的六個面分成（上，下），（左，右），（前，後）三組互相平行的面，故一定有一雙對邊位於同一組面上，即它們是平行的，換句話說，它們不是一般的四邊形，而是有名有姓的四邊形，即梯形（一雙對邊平行）和平行四邊形（兩雙對邊平行）。

圖十四是個梯形，圖十五則是非菱形，也非長方形平行四邊形（ BE = GD ≠ DF ）。
圖14

當截面是個三角形時，由於水都聚集在正方體一個頂點的角落，故三個邊處於此頂點所在的三個互不平行的三個面上，因此不可能有互相平行的狀況產生，反過來說，若是有兩邊平行，也不可能形成三角形。這麼說，是不是這些三角形可以是個一般的三角形嗎？

當有位同學提出上述問題時，另一位同學突然想起，在本文前面提過要大家實驗，看看是否能形成直角或鈍角三角形的問題。他說，他實驗很多次都無法得到這兩種三角形，他大聲問全班同學，是否有人實驗出來？有的話，請他出來demo一下。大家的鴉雀無聲，使全班產生了一個共同的懷疑：是不是不可能形成直角三角形和鈍角三角形的截面呢？

証明某些狀況不會發生，和証明某些現象會成立，是很不一樣的課題，通常後者比前者容易進行。大部分學生都只會用“實驗不出來”，作為不會發生直角或鈍角三角形截面的理由。學生也知道，數學裡這樣不能說服別人。每次進行這個活動，到了這裡，每位同學都來找我們幫忙。我們給的提示是如下的定理：

在△ ABC 中，
(1)若有一邊長的平方，等於另兩邊長平方的和時，譬如說 AB 2 = BC 2 + CA 2 則此三角形是直角三角形，∠ C 為直角。（圖十六）
(2)若有一邊長的平方，大於另兩邊長平方的和時，譬如說 AB 2 ＞ BC 2 + CA 2 則此三角形是個鈍角三角形，∠C為鈍角。（圖十七）
(3)若任意一邊長的平方，都小於另兩邊長平方的和時， AB 2 ＜ BC 2 + CA 2 ， BC 2 ＜ CA 2 + AB 2 ，CA 2 ＜ AB 2 + BC 2 ，則此三角形是個銳角三角形。（圖十八）
圖16

六、如何証明不可能？

其實，上述的(1)是畢氏定理的逆定理，一般國三的論証幾何課本中都會証明它的成立。(2)和(3)則可以用樞杻定理（也叫做大角對大邊定理）來加以說明：若兩個三角形有兩邊對應相等，則它們所夾的角，大角所對應邊也大。反過來說，大邊所對的角也大。（圖十九）

樞杻定理可以實驗方式讓學生理解（以兩根長短隨意的筷子為邊，學生用繩子量由此兩邊夾不同大小角度時，觀察對邊的長短與角度大小之關係），然後由此去討論上節最後提到的定理：假設我們先有直角三角形ABC，∠C的對邊之長當然等於兩股平方和之平方根，即

。現在固定兩股長，並變動它們所夾角之角度，用樞杻定理說明其邊角關係，就得到了這個定理。

圖20

高中以上的學生，也可以用餘弦定理來說明這個定理：三角形ABC中，∠ C= θ，則其對邊有如下關係（圖二十）

AB 2 = AC 2 + BC 2 - 2AC ．BC cos θ
當θ=90°時，cosθ=0，我們得到畢氏定理AB 2 = AC 2 + BC 2；當０＜θ＜ 90 °時， cos θ＞ 0 ，故 2AC ．BC cos θ 為正，因此定理 AB 2 ＞ AC 2 + BC 2 ；當90 °＜θ＜ 180 °時， cos θ＜ 0 ，故 2AC ．BC cos θ 為負，因此 AB 2 ＜ AC 2+BC 2 。

有了上節最後所述定理後，如何和正方體的平面截面會不會出現直角三角形，或是鈍角三角形連接起來呢？我們在黑板上畫出如圖二十一的圖形，令三角形之三頂點為A、B、C，O是水聚集的角落。又設 OA =a ， OB =b ， OC =c，則由畢氏定理，我們可以得到如下的關係（注意到△OAB，△OBC和△ OCA 都是直角三角形）
圖21

BC 2 = b 2 + c 2
CA 2 = c 2 + a 2
AB 2 = a 2 + b 2

以 AB 、 BC 和 CA 為三邊形成的三角形，可能有下列三種情況嗎？請讀者自己動手算算看。
BC 2

CA 2 + AB 2 ?
CA 2

AB 2 + BC 2 ?
AB 2

BC 2 + CA 2 ?

讀者已算過一則式子後就知道（上面三個式子其實是輪換對稱式，即將A改寫B，B改成C，C改成A時，第一式會變成第二式，第二式會變成第三式，第三式變回第一式等，故只要檢驗一個式子即可），這些式子是不可能成立的，即任意一邊長的平方，都會小於另兩邊長平方的和，換句話說，△ABC 一定是銳角三角形。

本文介紹的活動，在我們要求學生整理全班曾討論過的截面形狀（如下）後結束。
1. 三角形－正三角形和銳角的等腰三角形（非正三角形）會出現，但直角和鈍角三角形不會出現。
2. 四邊形－正方形，非正方形的長方形和菱形，非長方形也非菱形的平行四邊形，梯形會出現，其他四邊形都不會出現。
3. 五邊形－有兩雙對邊互相平行的五邊形會出現，其他的五邊形都不會出現。
4. 六邊形－三雙對邊互相平行的六邊形，包含正六邊形會出現，其他的六邊形不會出現。
5. 邊數為七以上的多邊形不會出現。

以往立體幾何的數學，由於教具的缺乏，無法有效的進行，現在電腦可以幫許多忙。但用電腦呈現立體圖之前，還是要有具體的形體操作，學生才能形成確實的感覺。中小學數學教師若能在這方面努力，設計出好的教具與配合的教學活動，對幾何教學的改進，會產生很大的作用。本文拋磚引玉，希望能引出更好的作品。