著名的瑞士發展心理學家皮亞傑 ( J . Piaget，1897-1980 )，將人的認知發展 ( cognitive development)分成幾個大階段，即感覺動作期(sensori-motor)，前操作期(pre-operational stage) ，具體操作期(concrete operational stage)，及形式操作期(formal operational stage)，小學生大都屬於具體操作期，而國中生則是由具體操作期，過渡到形式操作期的關鍵階段。
當然，這樣的說法是平均性的。因為有些小學生已經進入了形式操作期，而有些高中生，甚至於大學生在數學領域卻還停留在具體操作期。其差異在於當此人遇到適當的刺激（學校的制式數學課程中，這樣的機會夠多）時，肯不肯自行動腦筋操練。若他只想請別人教他如何算出正確答案，不想理解為什麼要如此算，他的認知發展就會延遲。所以，筆者的座右銘是"勞者多能"，而非"能者多勞"。
數學教育的終極目標是，希望每個人都能形式地操弄抽象的數學概念，以得到數學題目的答案；進一步也希望大家能將如此的形式運思能力，遷移（transfer ）到非數學領域的解題上。由此看出，由具體操作期提升到形式操作期，是小學高年級和國中數學課程中非常重要的任務。值得這兩階段的數學老師花時問思考，如何的教學才能順利達成任務。
形式操作期的人有許多特徵，是具體操作期的小孩尚未發展出來的，其中一項是逆向思考的能力。數學中的逆向解題，是在題目尚未解出前，假設已經解出，再由結果(是未知的)倒推回去。不難看到，這是蠻強的能力。因此，我常用逆向思考才方便解的題目，做為檢驗學生是否已然進入形式操作期。有次，我對某班六年級生出了一道題目如下（取自數學偵探， P.34~35 ，小天下）。
某餐即只有情同姊妹的三位女侍，她們習慣每天共享全部小費（暫時放在櫃台後一個筒內，下工返家前平分拿走）。有晚甲回家前從筒裡拿了三分之一的錢後，留下 960 元。次日中午前甲最早到店，發現昨晚留下的 960 元，原封不動留在話筒中。她問後來陸續到店的乙和丙，她們都說昨晚有從筒中拿走三分之一的錢才回家。原來甲竟是三人中最後離店的，問昨天收到的小費總共多少元？
會從一個故事境中抽出段落狀態，寫出流程，是一種高級的心智能力，需要學習鍛練後才能夠用的得心應手。但學校的制式數學課程中，並沒有將它當作一項教學目標 。許多小學老師抱怨，她們的學生遇到文字描述的情境題時，常喜歡用關鍵字法解題。以致有時結果南轅北轍，不知所云。下面所舉兩道題目(取自筆者的書數學年夜飯，P.162~163，心理出版社) ，用關鍵字法解題是一定解錯的。
林老師為他班上同學明天要舉辦的慶生會買了 12 包餅乾，當晚她開了一包和她的家人試吃，她家裡 6 個人每人一塊剛好分完這包餅隊。問還剩下多少塊餅乾？
這兩項題目故意將學生會注意到的關鍵字＂共＂和＂剩下＂放入題中文字，引誘學生踏入佈好的文字陷阱。因沒有好方法及耐心(因為教如何了解題意需要長時期的培養)作這方面的教學，許多老師和家長都走速成的"皇家捷徑"(好像楚古希臘時代的大哲學家柏拉圖說過： There is no royal Short cut to geometry，當時流行的數學就是幾何 geometry ) ，即教小孩看到題目有"共"就加或乘，有"剩下"或"餘"的字眼就減或除。
這樣的結果可想而知，碰到例行性的文字題時當然通行無阻。相對於沒學到如此的訣竅，而自行努力掙扎來了解題意(數學題目中的情境可以隨意變化，對小孩而才，把適當的數學概念從一個情境，遷移到另一情境並不如想像的容易，卻是學到數學抽象化精神的必要歷程)的學生，解題效率和由此得到的成績，固然有天壤之別會讓師長得到暫時的滿足。
但是，一路掙扎著學習的學生，若沒有氣餒，信心沒被擊潰，而且戰勝困難，成功學會，則他長期之後的發展，必然勝過一路用偷吃步方法學數學的學生。因為在掙扎的過程中，他已經養成了能力。不用說複雜的非例行性問題，就如上面三道題目，就足以把投機者三振出局了。下面再布一道非例行性問題他是取自數學年夜飯， P.183~200 ) ，供讀者參考。
1.960元×1/3=320 元。因為題目中只有這兩個數目，他們判斷要用乘法解題。 2.960元×3=2880元，沒弄清楚題意，以為每人拿到960元小費，3人就乘上3。 3.960元÷2=480原是甲拿走的，480元×3=1440元，是全部小費。 4.乙、丙兩人一起先走，甲後來才走。先算甲拿走的錢960÷2=480元，故乙、丙走後留下了960+480=1440元；而這筆錢是總共小費的1/3，故總共的小費是1440元×3=4320元。 5.乙先走，丙次走，甲最後走，但丙知乙有先拿了1/3。和4一樣，得先算出甲拿走的錢960元÷2=480元，故丙拿走他那一分後留下的錢是960+480=1440元給甲；故丙也拿了1440元，即乙走後留下了1440+1440=2880元；而乙也拿了一樣多的錢，所以，總共的小費是2880+1440=4320元。 6.乙先走，丙次走，甲最後走，但丙和甲都不知道有人先走，以為自己第一個走的人。這組合我的解題想法相同，但他們用代數方程列式求解，且有流程如下
當我要求全班安靜下來，把注意力放到黑板上時，他們赫然發現，黑板列出了 6 組不同的解題，5種不同的答案。課室中立刻傳出驚呼聲，到底那種解是對的？那種答案才是正確的？許多老師不喜歡課室產生爭議，因為秩序可能因此變亂，失去控制；再加上爭議背後的實質問題，可能不容易掌握。有收老師沒信心，甚至於連學生的解法對不對，都搞不清楚。這可能是有些老師堅持，學生一定只能用老師的解法解題的原因之一；不如此就打錯，多輕鬆，但老師的一言堂對教育多麼不真誠！
教育的目的在培養學生的能力，使他們出社會後，有能力適應今日變化萬千的社會環境。能力的擁有包含知識的取得，但後者並不能前者的全部。但擁有許多知識的書呆子，常作風保守，思想和行為都不夠變通。當我們說，知識就是力量時，前提是我們會活用知識。
什麼叫活用數學知識？單純的說，就是在他的生活中碰到困難時，能借用數學知識幫忙解題。筆者有次在某家 Pizza 店偷聽到排在我前面的幾位小朋友（應該是小學高年級生）的如下對話。 「9寸（直徑）的是 2 人份，12吋的 4 人份，好奇怪喲”」 「有什麼奇怪的？」 「不成比例呀！2人變4人，尺寸沒加倍。」 「對喲，應該是18吋，但18吋的Pizza好大。」 「慢一點， Pizza 是面積，不是長度。」 「什麼意思？」 「 Pizza 是圓面積，你們還記得圓面積的公式嗎？」 「記得，是圓周率乘上半徑乘半徑？」 「但是9吋和12吋，是不是要換算成公分才能計算？」 「怎麼換算？」 「我記得1吋相當於2 . 54公分，但乘起來好煩。」 「有電算器就好了”」 「不要換算了，英國人怎麼算面積，難道他們也要把公分換成英吋才能算？」 「有道理，我們就直接算。 9 × 9 是 81，12 × 12 是 144 ，還要乘上圓周率。圓周率要用 3 ，還是 3 . 14 ？」 「討厭死了，還要做三位小數和3位數的乘法。真的是沒電腦算不動了”」 「算起來頭大，不如不算圓周率，就用 81 和 144 來算，好像不是 1 倍。」 「81的一半是40，算1人份，4人份應該是160才對，少了一點。」 「如果把 144 除以 4 ，則1人份是 36 ，跟 40 也很接近了，可以了啦”」
在上面的對話中，雖然他們數學知識用的不是很正確（例如，錯把直徑當半徑，圓周率不乘就看是否2倍， 40 與 36 等的單位也沒弄清楚），卻沒有影響推論的結果。重要的是，他們確實是在使用”圓面積”相關的知識，在解決問題（關於 Pizza 直徑和分享人數不成比例的困感）。我認為是小孩活用數學知識的一個好案例。
老實說，我還蠻喜歡我上課（不管對象是當老師或學生）的課室中產生爭議的。當然是與上課內容戚戚相關的，而非風馬牛不相干的爭議。爭議常因為對同一個議題，出現了兩造不相同的看法；有時在討論後能相容，有時則是互相矛盾的。課室中的爭論，使每個人都集中精神，想弄清楚誰對誰錯。
處理爭議最佳的方法，是不要怕浪費時間，讓雙方辯個一清二楚。在此過程中，課室中的每個人，即使沒有直接參與辯論，卻會隨著兩造針鋒相對的理由共舞，大動腦筋想作個明智的判斷，到底那方的理由比較充足？也許因此就產生了認知衝突（cognitive conflict )。皮亞傑說，沒有認知衝突，就沒有學習。課室中的爭議，提供了多好的學習機會！
我各組輪流上台報告，說明他們留在黑板上的解題記錄。第1組和2組，說不清楚他們為什麼要乘於1/3和3，很快自己認錯下台。第3的過程中，算出甲拿到 480 元是對的，因為甲把筒中錢 3 等分她拿走1份後剩下2份是960元，故 1 份楚 960÷2 = 480 元；但480 X3=1440元為全部小費的答案，則是錯的，乙和丙拿到的錢卻要比 480 元多，這點受到大家的質疑，他們無法圓滿說明，只好認錯而退第4組和 5組的最後答案一樣，表示他們對題目意義的解釋相同，即乙和丙在分小費時是互相知道的，（雖然他們所說的題目故事不完全一致，第 4 組說乙、丙一起走了，第 5 組說乙、丙雖沒一起來，但後來的丙知道乙先走了），故算出 4320 元為總共的小費。過程中都先算出乙、丙走後留下給甲的 1440 元，這筆款項其實是總小費的1/3。雖然最後的算法梢有不同（一組用加法，另一組用乘法），但並不影響最後的結果。這兩組報告後都得到全班的鼓掌肯定。
第 6 組因用到英文字母 X 代表未知數故花了些時間回答同學關於這方而的問題，如”X” 是什麼？”為什麼不用國字，或 □ 、 ○ 、 △ 等符號？’等擦邊球，但大家都察覺到，用符號代表未知數很方便，尤其列出流程圖更是得到全班的讚賞。然而解出的答案與第 4 、 5 組不同，使全班感到不安。他們全都把頭轉向我，要我做出誰對誰錯的裁決：「老師，到底那個答案才是對的？」
我當然也不會放棄這麼好的機會，於是太極拳招式出手"如封似閉"、"一順水推舟"，把問題原封不動丟回去：「你們自己的意見呢？各小組討論一下吧！」沒想到小組討論沒多久，就有人舉手發問：「老師，要討論什麼？」我說：「就是這些解法和答案，誰對誰錯啊。」他們說：「這沒什麼好討論的，我們認為第 4 、 5 、 6 組的解法都對，但卻出現了兩組不同的答案，這才麻煩。」班上立刻有許多附和的聲音，要求澄清討論的內容。我說：「那你們為什麼認為，這三組的解法都是對的呢？」
甲、乙常結伴登山，有天接近中午時在深山遇到因迷路而挨餓的山友丙，遂邀他共同進餐 • 甲、乙各帶了 5 條和 4 條一樣大小的麵包，三人一起吃完這 9 條麵包後，丙拿出一張千元大鈔酬謝，兩人推辭不掉，只好接受。問他們該如何分這筆錢？為什麼要這樣分？