從小學高年級往上，數學是中小學各年級眾多學科中最被厭惡的科目之一。原因有點複雜，本文的目的不在分析此現象產生的原因，而想和讀者分享我們在臺灣看到的一些有趣的數學活動。所謂有趣，並非從筆者的角度，而是從學生的觀點 ─ 我們看到他們參與這些活動時，真是興高采烈，而且積極主動。我們認為學習任何事物，舉凡科學、文學、音樂、藝術，甚至體育運動如球類等，若沒有這種態度，實在很難學到手，數學當然不例外。
這本雜誌本期的另一篇數學文章「數學與生活語言的另類連接」，介紹的就是數學燈謎的活動。讀者若能停下這裡的閱讀，先去讀下篇文章，也許對本文討論的事物，會有更強烈的感覺。數學燈謎和我們熟悉的，通常於元宵節在廟宇打（或射）的燈謎並沒兩樣。不過，既然掛上「數學」做為形容詞，其謎而或是謎底就得與數學物件掛鉤，譬如說，謎面是「員，打一數學名詞」，其謎底是「圓心」；又如謎而是不等式「2≦X≦3」，打一句我國的四字成語」，其謎底是「接二連三」。 數學物件與數學之外的事物的連接，結數學學習的重要部分，至少可以說與數學對外界的應用楚相關的，故可以補充制式數學課程應用案例之不足。但是，數學燈謎中的連接有些另頹，比較像是「腦筋急轉彎」的步數。有些數學老師被不欣賞。 但是，這種需要打破既定的思考框架，才能解題成功的活動，也許是許多學生喜歡參與的原因之一。而且解題成功頗有創意的味道，令學生感到格外興奮。另外，猜對燈謎通常都有獎賞，雖不很貴重，也值得紀念。由於中、小學每學年的第二學期開學日，總在元宵節前後不久，故許多中、小學於開學日或第一個學校日（家長到學校），舉辦數學燈謎的活動，一方面熱鬧一下，另方面也可達到讓學生收心的效果。
1991 年，本文的第一位筆者夥同朱建正、林福來兩位教授一起到加拿大的魁北克市，參加四年一次的國際數學教育大會（International Congress of Mathematics Education ）時，看到一位來自澳洲的數學教育工作者，利用該市碼頭地區的硬體設施，設計了一系列的數學問題（每道問題都針對某一個特定的硬體），而這些問題串成了一條動線明確的步道。當你走過這條步道，解答了問題之後，你對該地區的狀況，會有進一步的瞭解。故這樣的功能，最適合國中、高中和大學的新生訓練（小一生當然不行）；步道手冊（毋需豪華，自己手繪、打字，影印裝訂成 A5 大小的幾頁小冊子即可）通常附有該地簡圖，指出各問題所在地。 回到臺灣後，我們努力推廣，先後推出了「臺大椰林大道數學步道」、「台北火車站數學步道」、「中正紀念堂數學步道」等，也幫忙許多中、小學設置了該校的「校園數學步道」，例如台北市東園國小、民生國小、立農國小、天母國中、建國高中、新雅國中，基隆市武崙國小等，都有自己的校園數學步道。 事實上，每所學校因其地理環境之不同，故其數學步道各有特色，有些題目是其他學校無法出現的。譬如說，天母國中的校園數學步道中有一道題目如下： 操場的跑道是全校最低的地方，找出全校最高的樓層地板，並且量量看，它比操場跑道高出多少公尺？ 請說明你是如何測量的。 這道題目看起來沒什麼稀奇之處，好像別的學校之校園數學步道也可以出類似的題目，但他們學生的解題內容跟天母國中的學生就天差地遠了。因為當一所學校蓋在一個水平的地而上時，操場的跑道固然是全校最低的地而，每棟樓層的基底也在同一水平面上，故選定最高的樓層地板後，它高出操場跑道的距離，變成簡單無趣的乘法計算，有兩種方式如下： (1) 每階樓梯高度 × 樓層數 (2) 每層樓高度 × 樓層數 每層樓高度＝每階樓梯高度 × 一層樓數 上述兩種算法都假設，同一棟樓房的各階樓梯都等高（根據我們在幾間學校的抽樣估測，小學的樓梯每階約 15 公分，中學則約 18 至20公分）；第二種算法則進一步假設，每層樓一樣高（學生檢驗的方式，常只算每層是否同樣多階梯）。 但是，天母國中楚建築在山坡上的，如下圖：
所以學生在計算落差時，需要利用連接橋把幾個不同棟的大樓連在一起才能計算，故使這道題在天母國中產生了特殊的味道。 像這樣的獨特問題，並不是純靠地形。例如台北市的東園國小，進入大門的左側立有一塊石碑，指出該校的建校日期楚日治時代「大正」 xx 年。因此，其校園數學步道有一道題口如下： 本校創設於日治時代大正 xx 年，請問本校的校齡是多少年？ 當然，每所學校都有它的創設年代，可以問其校齡，但東園的學生解本題時比較曲折，不能光就民國幾年到幾年來計算，而需要額外的資訊，即大正某年相當於西元○○年，而民國元年又相當於西元△△年。這種題目需要轉化的情形，其解題情形非常有助於數學的學習，而且，與人文相關的題目，也使數學對外的連接更加豐富、多元化。 因為台灣的學校硬體結構，某種程度很相似，故有些題目是各校共通的，譬如說在每校某建築的殘障斜坡旁，都可提出如下的數學問題： 這條殘障斜坡的斜率，是否合乎政府的規定（≦15°） ? 如何測量呢？ 本校其他的殘障斜坡的斜率，是否也和這條一樣？有一致性嗎？ 有趣的是，有人真的搬來輪椅，讓學生親身領驗殘陣朋友把自己推上斜坡的困難與辛苦。其實，不習慣坐輪椅的人手臂力道是比較差的，這項具禮考驗對大多數的中、小學生都以失敗收場，但大家都非常高興。這樣的人道關懷則是筆者認為最棒的地方，因為數學並非如名數學家 Herman Wyel 所說的「數學的美在其冷而酷(sharp and cool )」 那樣冷冰冰，也可以是很溫暖的。 法國的名數學教育家Vergnaud 曾對數學的概念提出如下的公式： C =(S , I , R ) 其中， C 就是概念concept， S是情境situations，I是不變性 invariants , R 楚表徵 representations 。此公式的意思是說，數學的一個概念會在許多不同的情境中出現，而且在不同情境中出現時的樣子，及解題的方式都很不一樣的，但它們都有共同的不變性，這種不變性的掌握才是真正的數學概念。 以上述案例中的斜率來說，除了殘障斜坡的斜度外，樓梯（包含螺旋梯和電影「海角七號」中阿嘉房間的窄梯）的陡度，地下停車場（許多城市的學校操場下而都有）出口的斜坡，橋樑（如大直橋），山坡（我國的建築法令規定，≧30°的山坡不能開發為建築用地），屋頂(北歐建築的屋頂為什麼都比較陡？）等都出現了斜率的概念。在上述各情境中，斜率呈現出來的樣子被不盡相同，測量的方式也相異。學生能從不同情境，不同表微中抽出同樣的數學物件，在在的體驗了數學「抽象」的精神，是數學學習中非常重要的一件事。 另一件可以在數學步道中，學生可以龍驗到的楚，理論與實際的落差。譬如說，在下面這道數學問題中： (1) 量量看，一部汽車的停車格(通常是個長方形)，長和寬需要多少公尺？而積是多少平方公尺？ (2) 量量看，一座籃球場的長方形之長和寬各是多少公尺？其而積是多少平方公尺？ (3) 若臨時把一座戶外籃球場當作停車場（心中畫出虛擬的停車格），可停多少部汽車？ (1)和(2)都只是單純的實測（各學校都有停車格和籃球場），和應用長方形面積公式的乘法，但在解決(3)時，學生常將問題自動簡化成除法，例如：若停車格是長 3 . 5 公尺、寬 2 公尺，面積是 7 平方公尺，而籃球場的面積是a平方公尺，則學生的答案常楚 a÷7 = b部車；大家都知道，此答案是不對的，因為我們無法真的在一座籃球場畫出b個 3 . 5 × 2 的停車格，如果更進一步，把問題特化 ( specialization ）成如下： (4) 設籃球場的周邊被無多餘的空地，故將籃球場權充停車場時，要闢出車輛進出的走道「請問，如何設計才能得到最多的停車格？請證明你的答案是最佳解答。 如此的布題，更能使學生從制式數學課程中，經常將問題理想化（或簡化）處理的夢境，拉回到現實的殘酷塵世。 有些讀者會覺得，到目前為止，數學步道所描述的問題都太過簡單，沒有數學的深度（西方的數學界常用「數學軟飯」soft mathematics來形容）但是，太有深度的數學問題常把學生嚇跑。台灣學生對數學的厭惡程度，不容許再加駱駝背上的最後一根稻草，故在讓他學習數學在外界環境的應用時，實不宜採用較深的數學問題。雖然如此，數學步道還是有些有點難度的題目，如下： ( 1 )在 400 公尺接力賽時，為什麼在外圈的起跑選手會比在內圈的選手站在更前而？這樣公平嗎？ ( 2 )操場跑道直最內圈和最外圈，一整圈各是多少公尺？量量看。為什麼會有這樣大的差異？ 為了探討這個問題的原因，我們需要研究跑道（見下圖）其內圈一般都楚由一個長方形在其較短的兩端，拼上像帽子那樣的兩個全等之曲線弧形而成的。
( 3)跑道的內圈是一個橢圓形（去掉中間的虛線）嗎？請證明你的答案（此答案是否定的，我們想聽的楚學生對它不是橢圓的論證）。 (4)長方形兩端的帽子是全等妳嗎？你能加以證明嗎？它是一個半圓嗎？請說明你的答案。 學生對問題(3)的否定論證中，即使是高中生，很少提到橢圓曲線中不含直線段的事實。問題(4)的答案，一般而言是錯的，而證明的要點是用反證法：若它是半圓，則其圓心應在虛線的中點；以此點為圓心，此點到虛線端點的距離為半徑，拿長繩子畫圓，很容易看到其軌跡與跑道的曲線不符。那麼，跑道的曲線到底是怎樣的曲線呢？謂看下題： (5)帽子部分是由三段不同的圓弧組成的，圓心都不一樣，如右圖所示，左右兩邊的圓弧半徑相等，但圓心都在虛線上，中問圓弧的半徑則較長，請找出這三個 圓心及半徑長度。
當老師覺得制式的數學課大沉悶，許多學生開始打瞌睡的時候，若想重新激起學生對數學的熱情，最有效的一帖藥就是跟他們玩一場數學遊戲，保證他們 H igh 翻天。數學遊戲就是跟數學扯得上邊的遊戲，典型的楚找出致勝的數學規律，以便贏得勝利。當然，數學遊戲被不是只提供熱鬧的活動，有時它跟制式數學課程內容有密切的關係，譬如說「稅收遊戲」與質數、因數、倍數的概念有關；「搶 30」及其延伸遊戲與倍數、餘數的概念相關；「拈(nim)」與二進位記數系統相關；「河內塔 J 與數學遞迴模型的建構有關；「（平面及立體的）連塊遊戲」有助於平移、旋轉（平而及立體）、鏡射（平面的點鏡射、線鏡射，立體的點鏡射、線鏡射及面鏡射）等剛體運動（ rigidmotions ）的學習；「人面獅身與自我放大複製」與放大、縮小、相似形的學習相關；利用「百力智慧片」及相關產品進行五種正多面體，各種截角正多面體、足球？等的製作，也非常有助於學生學習立體的形體，培養空間能力，此活動甚至可用來展現滿有數學深度的立體的「對偶」（duality）概念；我們不必再繼續寫下去。不同種領的數學遊戲太多了，有興趣的讀者，可以自己再去找。下而，就以「河內塔」來說明，玩這個數學遊戲時會學到的數學。 如下圖，木板上有 A 、 B 、 C 三根柱仔，A柱套有 5 個大小不等的有洞圓盤，請將這些圓盤移到 C柱。但在過程中的任何狀態，在同根柱子上，較大的盤都不能放在較小盤子上。請問最少要多少步才能完成任務？
當老師覺得制式的數學課大沉悶，許多學生開始打瞌睡的時候，若想重新激起學生對數學的熱情，最有效的一帖藥就是跟他們玩一場數學遊戲，保證他們 H igh 翻天。數學遊戲就是跟數學扯得上邊的遊戲，典型的楚找出致勝的數學規律，以便贏得勝利。當然，數學遊戲被不是只提供熱鬧的活動，有時它跟制式數學課程內容有密切的關係，譬如說「稅收遊戲」與質數、因數、倍數的概念有關；「搶 30」及其延伸遊戲與倍數、餘數的概念相關；「拈(nim)」與二進位記數系統相關；「河內塔 J 與數學遞迴模型的建構有關；「（平面及立體的）連塊遊戲」有助於平移、旋轉（平而及立體）、鏡射（平面的點鏡射、線鏡射，立體的點鏡射、線鏡射及面鏡射）等剛體運動（ rigidmotions ）的學習；「人面獅身與自我放大複製」與放大、縮小、相似形的學習相關；利用「百力智慧片」及相關產品進行五種正多面體，各種截角正多面體、足球？等的製作，也非常有助於學生學習立體的形體，培養空間能力，此活動甚至可用來展現滿有數學深度的立體的「對偶」（duality）概念；我們不必再繼續寫下去。不同種領的數學遊戲太多了，有興趣的讀者，可以自己再去找。下而，就以「河內塔」來說明，玩這個數學遊戲時會學到的數學。 如下圖，木板上有 A 、 B 、 C 三根柱仔，A柱套有 5 個大小不等的有洞圓盤，請將這些圓盤移到 C柱。但在過程中的任何狀態，在同根柱子上，較大的盤都不能放在較小盤子上。請問最少要多少步才能完成任務？ 原來的問題中盤子的數目通常是 7 個（有時是 9 個），盤數越多，解答越難。筆者認為，對國中、小學生而言， 5 個盤子就已經夠難了。一個人若會解 5 個盤子的河內塔問題，則 7個或9個盤子的問題，只在考驗他延伸成果的能力而已。 有些學生考慮太多，腦筋古板不靈通，說沒道具不能玩 • 你不會隨手拿身邊的代用品嗎？譬如說， 1 元、 5 元、 10 元和50元的銅板，就是四種大小不同的物件了，然後在紙上畫三個大圓圈代替柱子也可以。這樣你就可以玩此遊戲了，請開始玩吧！ 第一次玩沒玩過的遊戲，就像做數學中的非例行性問題(non-routine Problems)一樣，一定得用嘗試錯誤法 ( trial and error )。古老的青年十大守則中有一條說：「失敗為成功之母。」講的就是同一件事。嘗試後失敗，反省檢討重新調整再嘗試這樣的過程中，我們對這個題目，會養出某種感覺，這是對解題非常重要的一件事。 試想，我們若沒有感覺，如何學會游泳或騎單車？學數學其實是一樣的。但是，在制式數學總課堂中，老師卻恨不得每位學生都能立刻學到對每道題目的最有效解法。如此的下場是學生對數學內容毫無感覺，學習只是死記老師教的解法，較好的學生也不過是模仿成功而已。這樣如何培養出學生的數學能力？玩數學遊戲的最大好處就在於，大家毋須太認真講究效率，故學生可以在如此過程，好好歷練數學解題（mathematical problem solving）的完整程序。 嘗試錯誤的內涵包含改變題目，數學方法論中最常被用到的方法是簡化法，即把題目變簡單，簡單到我們解得動。這道題目的5個圓盤，若嫌太多，可以暫時減少到 4個，甚至於3 個。以我們的經驗， 3 個盤子的解題成功率高達 80%，而且大家都同意最少要 7 步才能搬成功。還未開始玩的讀者，現在請立刻先玩，成功後，再回來閱讀下文。 我們假設，現在正在讀這段文字的讀者，都有成功將大小不同的 3 個盤子從A柱（照大盤不壓小盤的規則）搬到 C 柱的經歷。好，你能將這個成功的經驗複製嗎？想想看，怎樣複製？ 懷疑你的成功經驗的存在性，故記錄變成很重要的一件事。事實上，若沒有記錄，我們也無從進行反省檢討的工作。現在你已經看到，數學的運作中，為什麼不能只有具禮操作，而要提升到形式運思的道理。想想看，怎樣記錄？ 若你無法複製，別人就有正常理由數學裡的有些記錄楚單純的將過程中的每一種狀態記下來，例如下面就是二種記錄的方式，你喜歡哪一種？
你看得懂上面的記錄嗎？這個狀態到下個狀態之間又茫怎樣的運作呢？跟你自己的記錄比較一下，是否一樣呢？ 另一個問題是：你怎麼知道 7 步是最少的步數呢？你要不要先想想看如何回答，再繼續看下文？這裡給個提示，答案就在上而的圖示當中。 在數學裡證明最大或最小的時候常常都不很直接，更不可能說「我們全班試了很多次，這樣就是最少步了」這樣的理由是不夠的。即使你能說明，你已窮盡了所有可能的搬法，這樣的證明都會被數學界說成是蠻力法，不優雅。 怎樣從上述記錄中看出最少步呢？注意看上而圖示的狀態ⓞ~③，若在這些狀態中把3（即最大的盤子）忽略不看，顯然就楚把只有兩層的盤子由 A 柱移到 B 柱：同樣的，從狀態④~⑦中把最大的盤子 3 忽略不看，則可視為是將兩層的盤子，由 B 柱栘到 C 柱。這楚什麼意思呢？想想看！
上面的圖示是摘自記錄，讀者不難看到，若沒有狀態③，最大的盤子 3 無法從 A 柱移到 C柱（狀態 ③ 到 ④ ：換句話說，若沒有狀態 ③ 和 ④× ，任務是無法完成的。所以，把三個盤子由 A 柱移到 C 柱的過程，可以分成三個階段，即 ⓞ 到 ③ , ③ 到 ④ , ④ 到 ⑦。 有了這樣的瞭解，最少步數的計算就單純了。ⓞ 到 ③ 以及 ④ 到 ⑦ 就是移好 2 層盤子的最少次數，設為A2（其實我們已經知道 A2=3) ，則栘完 3 層盤子的最少次數A3=A2×2+1 = 3 × 2 + 1 = 7 。這樣的計算可以接受嗎？ 上述的計算方式，可以推廣延伸到 4 層盤子、 5 層盤子 … 等的情形。下面，以 5 層盤子的案例作說明如下：讓我們模仿上述的說法，將此過程分成三段，如下圖所示：
上圖的最左邊是問題的原始狀態，而最右邊則是任務完成後的狀態。從最左邊的狀態到最右邊的狀態，一定得經中間左邊的狀態，最大的 5 號盤子才能從 A 柱移到 C 柱，變成中間右邊的狀態，讀者應該不難看到，從左圖到中左圖，若忽略5號盤子不看，則可視為是 4 層盤子的狀況；同理，由中右圖到右岡，若將 5 號盤子忽略，一樣可視為是 4 層盤子的狀況。設 4 層盤子的最少移動次數為 A4 ， 5 層盤子狀況成功移完的最少次數為 A5，則有下列關係： A5=A4×2+1 欲知A5是多少，須先求得A4；但A4又要依賴 A3，其相互閒的關係，讀者不妨自己想想，去釐清、求出。這項任務就當作回家功課，留給讀者去完成了。
本文原先想介紹的另類數學活動，還有「科學普及之數學讀本（含小學的數學繪本）閱讀」活動；可補紙筆測驗無法考到的數學操作能力，兼含補救教學功能的「數學闖關」活動；模仿偵探故事來補制式數學課程中「推理」內容不足的「推理系列 J 活動；與科學展覽有關的「數學探索」活動；以及「奧林匹克式數學競賽的選手培訓」活動等。但因本文已經太長（本文已有六、七千字。照調查，長度超過四千字的科學文章之讀者，是長度短於三千字的同類文章之讀者數目的一半以下），故文章暫且就此打住。在離開之前忍不住倚老賣老，再嘮叨幾句話。學生學習數學的目的到底是什麼？我們是希望他知道許多數學知識（當數學老師？為考試？或者 … ）呢？還結培養將來會比較有用的數學能力？ 當然，好的數學教育結果總是能兩者兼備。但若無法兼顧，我們又該如何取捨？在教育的過程中，老師和家長的見解，對此目標的達成會有甚大差異。譬如以上面河內塔為例說明，偏重能力培養的話，我們會花比較多的時間，讓學生模索解題方向（將來他長大進入社會，若不是當第三流的公務員，專門處理雞毛蒜皮的例行小事時，總會碰到老師、長輩沒教過解題的非例行性問題，此時他就需要此項能力），和他們多討論建立計算模型時必需注意的事項，而不是只教他們如何用最有效率的方式算出答案。 我們有次在數學遊戲課碰到一個小男孩，當我們宣布要玩河內塔時，他很驕傲地說，他玩過此遊戲。問他從這個遊戲學到什麼時，他說，記得搬移七層盤子的最小步數是27-1=128-1=127次。於是請他移這127步，結果他不會，而且也說不清楚27-1是怎麼來的。那記住這種知識有什麼用呢？若考試會考到，那也就罷了！但像這種考試絕不會考到的某種數學遊戲之結果（所產生的公式），也要死背（因講不出道理），這是什麼學習心態？ 讀者也許會問，若要考他是否有養出能力，如何才能考出來？當然，用非例行性問題試試看。當一位學生用死背的方式學數學，而沒養出數學能力時，他面對一道從未見過的非例行性數學問題時，他會手足無措，不知如何是好；大多數就此放棄，小部分會胡亂湊個公式計算一些他自己都不知道意義的數字給你。 國際上最有名的笑話是有位法國的數學教育家，拜託他認識的一些四到八年級的數學老師，在他們的定期測驗中放入如下的題目： 一艘船上載有 25 隻牛和 75 隻羊，問船長幾歲？ 結果有許多人沒有回答（事後的面談，這些學生說看不懂題意），然而還是有人回答，最典型的解答是75-25=50 ，答船長 50 歲。事後的面談中，他們說出解題的想法：老師出在考卷上的題目是一定有解的；這個題目裡只有 2 個數目，故可以運用加、減、乘、除求答， 25 + 75 = 100 , 75 - 25 = 50 , 75 X 25 = 1875 , 75 ÷ 25 = 3 ，四個數字中， 50 歲是最可能的答案！ 加、減、乘、除的意義何在？他們是不管的。有趣的是，如此作答的學生比例， 倒是隨著年級的數目而增加，此事實只暴露了一件悲哀的事：我們把學生越教越笨。下面，給個河內塔範圍的非例行性問題，有興趣的讀者可自行研究探索：若要將下列狀況的五層盤子，全移到 C 柱，有可能嗎？若有，該如何移？最少需要幾步？