裡面與外面-圖形另類觀點

一條曲線如果自身不相交而且是封閉的我們稱作簡單封閉曲線（Simple Closed Curve）如（圖一）、（圖二）及（圖三）。

在（圖一）、（圖二）及（圖三）中，A點我們稱它在這條簡單封閉曲線的「裹面」，而B點我們稱它在這條封閉曲線的「外面」，而「裹面」和「外面」就被這條簡單封閉曲線嚴格區分，A點和B點的連線一定和這條封閉曲線相交。

基於這樣的基本觀念，現在我請問讀者，有一條繩子繞成（圖四）的曲線，那麼你能否很快的說出紅點和藍點是在這條封閉曲線的「裹面」或「外面」？

以下提供兩個方法讓讀者知道紅點和藍點是在這條封閉曲線的「裹面」或「外而」？第一個方法就是「著色」，從紅點的所在處著色延伸下去，我們發現成為下面的圖示：

（圖五）中的著色部分面積是有限的，因此我們斷定紅色點的位置是在曲線「裹面」，而藍色點的位置是在曲線外面。

第二個方法是從這個封閉曲線的外面一點P開始數「＋」、「－」「＋」、「－」「＋」、「－」……、每越過一個邊界就改號。

如（圖六）從綠點P開始數正、負、正、負、數到紅點Q是負，因此紅點Q的位置是在此封閉曲線的內部，再往上數數到R點是正，因此可以斷定R點的位置是在此封閉曲線的外部。為什麼會這樣呢？讀者一定很好奇，其實這是一個簡單又有趣的問題，因為它既然是一條簡單封閉曲線，那麼它就可以拉成如（圖七）的橢圓形閉曲線。當P點穿過（圖六）的邊界的某一點，就相當於（圖七）的P點穿過邊界的某一點，因此動點P就等於是在橢圓裹外作進出的動作。

有了以上這個簡單又獨特的方法檢驗裏面和外面之後，我們就可以處理下面較複雜的圖形，例如（圖八）所示的A部分、B部分究竟是該算是裏面還是外面就很清楚了，A部分算是裏面，B部分算是外面。對於（圖八）的裏外，讀者如果理解有困難，何妨準備一條橡皮圈先弄成（圖八）的樣子，然後將它翻成（圖九）就可發現B部分跑到C部分了。

我們再來看看（圖十）的情形：

其次我們再來看下面這個更複雜的圖：

由「正負數判別法」我們可以知道A部分及D部分屬於外面，B部分、C部分及E部分都屬於裏面。至此讀者有無發現：B部分、C部分及E部分兩兩分別只有點的接觸？A部分及D部分也只有點的接觸？而這兩群相互之間的接觸部分是一條線？

由「正負數判別法」我們可以知道A部分及D部分屬於外面，B部分、C部分及E部分都屬於裏面。至此讀者有無發現：B部分、C部分及E部分兩兩分別只有點的接觸？A部分及D部分也只有點的接觸？而這兩群相互之間的接觸部分是一條線？

讀者何妨利用電腦在Word上任意繪圖（封閉曲線）然後著色（按填滿色彩），看看結果如何。我們任舉一例：在Word上按「快取圖案」的「手繪多邊形」，任意畫一個「交錯封閉曲線」（如圖十二），最後再按（按填滿色彩）。

讀者有無發現同色間區域的接觸都只是一個點？而異色間區域的接觸都是一條線？它的填色原則正如上文所述。