裡面與外面-圖形另類觀點

資料來源
科學研習月刊42-7
文/謝新傳
(I)Simple Closed Curve 簡單封閉曲線

一條曲線如果自身不相交而且是封閉的我們稱作簡單封閉曲線(Simple Closed Curve)如(圖一)、(圖二)及(圖三)。

圖一、圖二、圖三

在(圖一)、(圖二)及(圖三)中,A點我們稱它在這條簡單封閉曲線的「裹面」,而B點我們稱它在這條封閉曲線的「外面」,而「裹面」和「外面」就被這條簡單封閉曲線嚴格區分,A點和B點的連線一定和這條封閉曲線相交。

基於這樣的基本觀念,現在我請問讀者,有一條繩子繞成(圖四)的曲線,那麼你能否很快的說出紅點和藍點是在這條封閉曲線的「裹面」或「外面」?

圖四

以下提供兩個方法讓讀者知道紅點和藍點是在這條封閉曲線的「裹面」或「外而」?第一個方法就是「著色」,從紅點的所在處著色延伸下去,我們發現成為下面的圖示:

圖五

(圖五)中的著色部分面積是有限的,因此我們斷定紅色點的位置是在曲線「裹面」,而藍色點的位置是在曲線外面。

第二個方法是從這個封閉曲線的外面一點P開始數「+」、「-」「+」、「-」「+」、「-」……、每越過一個邊界就改號。

圖六

如(圖六)從綠點P開始數正、負、正、負、數到紅點Q是負,因此紅點Q的位置是在此封閉曲線的內部,再往上數數到R點是正,因此可以斷定R點的位置是在此封閉曲線的外部。為什麼會這樣呢?讀者一定很好奇,其實這是一個簡單又有趣的問題,因為它既然是一條簡單封閉曲線,那麼它就可以拉成如(圖七)的橢圓形閉曲線。當P點穿過(圖六)的邊界的某一點,就相當於(圖七)的P點穿過邊界的某一點,因此動點P就等於是在橢圓裹外作進出的動作。

圖七
(II)Complex Closed Curve 交錯封閉曲線

有了以上這個簡單又獨特的方法檢驗裏面和外面之後,我們就可以處理下面較複雜的圖形,例如(圖八)所示的A部分、B部分究竟是該算是裏面還是外面就很清楚了,A部分算是裏面,B部分算是外面。對於(圖八)的裏外,讀者如果理解有困難,何妨準備一條橡皮圈先弄成(圖八)的樣子,然後將它翻成(圖九)就可發現B部分跑到C部分了。

圖八、圖九

我們再來看看(圖十)的情形:

圖十
A是屬於外部,那麼B、C是屬於內部

其次我們再來看下面這個更複雜的圖:

圖十一

由「正負數判別法」我們可以知道A部分及D部分屬於外面,B部分、C部分及E部分都屬於裏面。至此讀者有無發現:B部分、C部分及E部分兩兩分別只有點的接觸?A部分及D部分也只有點的接觸?而這兩群相互之間的接觸部分是一條線?

由「正負數判別法」我們可以知道A部分及D部分屬於外面,B部分、C部分及E部分都屬於裏面。至此讀者有無發現:B部分、C部分及E部分兩兩分別只有點的接觸?A部分及D部分也只有點的接觸?而這兩群相互之間的接觸部分是一條線?

讀者何妨利用電腦在Word上任意繪圖(封閉曲線)然後著色(按填滿色彩),看看結果如何。我們任舉一例:在Word上按「快取圖案」的「手繪多邊形」,任意畫一個「交錯封閉曲線」(如圖十二),最後再按(按填滿色彩)。

圖十二

讀者有無發現同色間區域的接觸都只是一個點?而異色間區域的接觸都是一條線?它的填色原則正如上文所述。