高中數學科展經驗談 —數學探究的樂趣



文/張宮明


每一位數學教師都有想要帶學生做科展的經驗,這篇文章就是要分享筆者多年來帶領高中生從事專題研究進而形成科展作品的過程。內容將以實際的例子呈現,並盡可能將艱澀的數學論證過程省略,但仍維持應有的思考邏輯與進程。目的是希望文章的內容對願意帶領學生從事專題研究的教師有一些參考價值,以及對想要進行專題研究的學生有啟發的作用。

在正式開始之前,筆者想要先釐清幾個基本概念和過程:

 做數學科展的過程

一、為什麼要做專題研究或科展?

我想許多學生都答不出來,但有些學生會回答:「就是喜歡探究新事物嘛!沒有別的理由。」對!這就是人類的天性之一「喜歡探究新事物」,這也是推動人類文明進步的動力。在過程中會有許多發現新事物的樂趣,也會有遇到瓶頸的煩惱,以及突破困難的喜悅,如果一切順利,最後會有統整研究結論的成就感。但如果失敗了呢?當然會有挫折感!這時候,前英國首相溫斯頓·邱吉爾的這一段話,就很適合用來自我勉勵:「成功就是從一次失敗進入下一次失敗而不喪失熱情的能力」。

二、如何開始做專題研究與科展? 

想從事專題研究的學生如何踏出第一步呢?下列步驟可提供學生參考。

1.單獨一人或兩人結伴找有意願和能力指導學生的指導老師。
2.與指導老師約定專題研究的時間,目前108課綱有彈性學習與多元選修 課程,學校與老師應該可以安排出專題研究課程,以每週一至二節為宜。
3.蒐集與研讀研究資訊,確定專題研究題目的初步方向。
4.開始與指導老師一起研讀、討論與研究。

三、如何選(找)題目?

學生與老師如何找專題研究的題目呢?一般而言,老師可以指導學生上網瀏覽臺灣科學教育館的歷屆科展得獎作品,選擇有興趣的一篇科展,由老師引導學生研讀與報告,讓學生與老師了解一篇好的研究報告是如何形成與撰寫的,這個過程著重於師生一起參與,老師引領學生一起研讀報告,由學生報告他所理解的內容以及不理解的內容,老師與學生一起討論,針對報告內容互相發問與思考解決方法,這個過程就像研究所課程裡的書報討論,老師與學生一起腦力激盪,完成一篇報告的討論,過程中或許就會激發新的有趣問題,可作為學生研究的主題,但如果沒有發生,至少學生可以學習到如何發展一個主題並撰寫出可觀的報告。

事實上,大多數的數學專題研究主題是由老師提供,只有少數的學生能夠透過搜尋與閱讀各方面的期刊書籍找到自己的研究主題,所以這方面需要指導老師多下功夫。最有效率的方法是多研讀數學期刊,自然從中可發現適合高中生研究的主題。也就是說,一個高中數學老師如果想要帶領學生做專題研究,那這位老師一定要自己先做研究。

四、如何研究?

當老師與學生確定了研究主題之後,該如何著手做研究呢?下列步驟提供學生與老師參考。

1.老師指導學生研讀收尋到的文獻報告,請學生將理解的內容於課堂上報告,對於未能理解的內容也於課堂上提出與老師討論。
2.經由步驟1的過程,學生與老師可以瞭解文獻中已有的成果,以及尚未解決的問題。
3.若文獻中沒有提出尚未解決的問題則請學生自己嘗試提出問題,也可以請老師提出問題。
4.思考文獻中提出的問題或老師與學生自己提出的問題,並嘗試解決。
5.將使用的所有解決方法寫下來,愈詳細愈好。
6.請學生整理自己目前的成果。
7.請學生在課堂上報告並與指導老師討論。
8.課堂結束時,請學生再整理一次討論的結果。
9.請學生再搜尋與研究主題或目前結果有關的資訊與文獻,並研讀整理。
10.從步驟1開始再循環一次。

五、做科展研究要注意什麼?

1. 時程的規劃與掌握
(1)比賽時間、(2)整理報告時間、和(3)最後報名時間。

2. 課業與科展研究的時間分配
嚴格規定學生自己的課業與做科展研究的時間,應以課業為優先。

六、國內科展比賽類型與時間

1.全國中小學科展
(1)區賽每年四月底或五月初
(2)全國賽每年七月底

2.台灣國際科展
(1)初審:每年10月底至11月初報名交件
(2)決賽:初審通過者隔年2月初比賽

3. 丘成桐中學數學獎

4. 旺宏科學獎

 科展實例的分享 

接下來我們來分享一個科展的例子,筆者會從最初如何開始探究,到最後研究報告的整理,以及口語表達的練習,皆詳實地記錄下來,提供師生參考。

這件作品的主題是埃及分數之固定項數分解問題。所謂埃及分數就是分子為1的真分數,例如
 

又稱為單位分數。

在古埃及的數學裡,由於沒有小數的概念,因此習慣將一個真分數表示成若干個埃及分數之和,例如 

某日筆者在網路上搜尋適合高中生研究的主題時,看到了游森棚教授在網路上提供給高中生探討的兩個問題
 

這讓筆者感到相當有趣,在動筆演算後,發現很適合給高一學生探討,因此筆者就在專題研究課程中拋出這個問題,經過一段時間,有兩名學生給出答案,我請他們上台在黑板寫出過程,其中有一名學生的解法整理如下:



當學生寫出這個解法時,筆者感到相當振奮,因為筆者看出這個解法很適合推廣成一般情形。因此,筆者馬上提出關鍵的一般化問題來請教學生:



當然,學生沒有在第一時間就得出答案,筆者也不急著公布答案,畢竟專題研究的發展需要給學生思考的空間和時間。隔了一週,筆者請學生上台寫下他的思考情形,起初他也僅能再舉出幾個例子,學生的能力當然很難將過程一般化,但當老師的我們已經看出來了,這時候如果不適當地提出引導,那實在是太可惜了。於是筆者就給了一些提示與建議。筆者向學生說:「請試著將問題2中的分子7改成n,分母12改成m,推廣問題2的解法,再嘗試做一遍。」在筆者的提醒之下,學生像是恍然大悟一般,在黑板上證明出一般化的結論,如下定理1.所示。


哇!當學生寫出這個結果時,簡直興奮到了極點,對學生來說,根據自己的思路與老師的適度提醒證明出這個結論,是非常大的激勵與震撼,這個過程就是數學探究的樂趣之一。

這是一個很漂亮的檢驗法,我們把他稱之為真分數表示成兩個相異埃及分數之和的檢驗法,就像是高一數學多項式單元中的整係數一次因式檢驗法一樣,它只是必要條件,並非充分條件,所以反之並不一定成立。

有了這個結果當基礎,我請學生思考這個主題要如何繼續推展?隔一週,學生帶來以下的結論:


這是相當好的推論,顯然,學生還在分解成兩個埃及分數的設定中推演,希望將可行的m和n做分類,這也是可以推展的研究方向之一,但筆者希望學生更勇敢地跨出去。因此,筆者提示學生,俗話說得好:「有一就有二,有二就有三。」請他回去想想這件事:



筆者建議學生先做幾個簡單的例子,再想方法將其一般化。經過幾週的努力,學生寫出令人振奮的結果,我們稱之為
真分數表示成三個相異埃及分數之和的檢驗法:


筆者和學生都覺得太有趣了,也愈來愈複雜了當然,筆者希望學生繼續挑戰真分數表示成四個相異埃及分數之和的檢驗法,同時,筆者也囑咐學生先將這些結果整理成一篇報告並繼續搜尋相關的文獻,隔了幾週,學生推導出令人讚嘆的結果,如下定理3。我們稱之為真分數表示成四個相異埃及分數之和的檢驗法:


這結果,讓筆者建議學生利用數學歸納法推廣至真分數表示成K個相異埃及分數之和的檢驗法。但並沒有實現。此時恰好搜尋到相關的難題,在有關埃及分數的研究中,有一個至今尚未完成證明的猜想--艾狄胥和斯特勞斯猜想(Erdös-Straus conjecture),其內容如下:


 這是由艾狄胥和斯特勞斯共同提出的猜想。既然學生已做出檢驗法,因此筆者就建議學生挑戰這個五十年未被攻克的猜想,筆者和學生討論相關文獻中的一些特例後發現可以將分母m做整數的分類,並且先用定理2的檢驗法作一些實際的例子,觀察例子中的解的型態,再去推測可能的結果。在幾週的努力之下,學生得到下列結果。



雖然無法攻克這個難題,但我請學生根據我們的定理1、2以MATLAB寫了檢驗法的程式,並以兩個例子說明之。



圖1


圖2

3. Erdös-Straus conjecture的檢驗

為了對Erdös-Straus conjecture作更進一步的探討,因此我們設計了第三個應用程式作檢驗,由於有人在網路上已驗證了



因此我們進一步去驗證出


這已經超越了當時網路上已知的結果。

特別要說明的是,如果在電腦硬體設備及時間足夠的條件下,我們的檢驗法應用程式可以再對更大的m作檢驗並將解找出來。但是要注意的是當m值愈大時,程式計算得到結論所需要的時間會愈久。當然,如果可以使用C語言來撰寫程式,以及改善演算法,則計算的速度會更快,這也是另外可以再發展的演算法相關議題,留待有興趣的師生來探究。此外,利用程式計算所得的結果,可以幫助我們找尋艾狄胥與斯特勞斯猜想的問題中分母為24t+1的情況,這一部分也留待有興趣的師生研究。

 回顧與展望

這個專題研究從一個簡單問題開始發展到獲得如此豐富的結果,歷經了一年的時間,學生和老師都經歷了一趟數學探究的過程,最後形成一個科展的作品,過程中充滿了數學探究的樂趣,在屢屢發現新事物的激勵下,師生勇往直前邁進,雖然最後的山頭尚未攻克,但也奠定了學生從事學術研究的熱情與基礎。最後針對研究報告的整理與發表及指導老師的角色扮演,筆者提供兩點建議給師生參考。

一、研究報告的整理與口語表達

在研究的初期,學生會不知道如何整理研究內容。通常筆者會要求學生將手寫的文件先用文書軟體作成檔案,某些圖形可先照相存檔,再去學習相關繪圖軟體來支援繪圖。在這樣的要求之下,隨著研究的進展,研究報告也會逐漸成形,而學生看著日漸豐富的結果也會愈來愈有興趣和成就。到了科展報名的時間,一切就會水到渠成。當然指導老師也必須注意時程的控管,讓學生在報名前完成作品。

學生的口語表達能力是在書報討論中逐步培養的,一個好的研究報告也要有好的口語表達才能更出色,這個能力必須在每週的專題研究課程中逐漸培養,到最後才能結合研究內容自然發揮。當然,科展比賽前的強化口語表達訓練也是不可或缺的關鍵因素。

二、指導老師的陪伴與指引

指導學生從事數學探究的過程中,老師最重要的工作就是陪伴與指引。老師的角色就像船隻航行大海時所需要的羅盤與燈塔,扮演好這個角色並不簡單,老師必須有投入研究新事物的熱情,並能從過程中體驗樂趣,如此才能長久指導學生。

如何做好陪伴與指引呢?關鍵就在每週固定的專題研究時間,老師和學生對於相關的主題做書報討論,老師和學生針對研究的問題相互提問與探討。這是非常重要的互動過程,事實上,許多有趣的研究結果都是從熱絡的互動過程中激發出來的。

最後,建議老師和學生,找一個有興趣的主題,從最簡單的情形著手,開始一趟快樂有趣的數學探究之旅。

 參考文獻

李孟修、劉琦崴(2006)。埃及分數之固定項數分解問題。臺灣2006年國際科學展覽會。





張宮明
國立屏東高級中學數學科教師