數學奠基活動「矩形拼板」在國中數學課堂的實施與回饋



文/鄧家駿
照片/范慧蘭


 數學奠基活動模組

2019年十二年國民教育的數學課程開始實施,數學領域課程綱呼應《總綱》的理念與願景,從數學是一種語言、一種實用的規律科學、一種人文素養出發,落實在課程設計提供每名學生有感的學習機會,培養學生正確使用工具的素養。
  
目前國立臺灣師範大學數學系林福來講座教授推動以數學教育中心,結合中央數學輔導教師團隊群的合作,發展與設計一系列的數學奠基活動,並且透過活動師培訓介紹這些數學奠基活動,引導老師們如何操作,鼓勵與協助地方教師在週末、寒暑假辦理數學好好玩活動營,將效益擴展到學生身上。希望藉由參與的現場教師願意在數學營隊活動與課堂教學中使用奠基活動來幫助孩子學習,提升學生學習數學的興趣與能力。
 
數學奠基模組的課程是素養教學嗎?林福來教授指出,因為數學奠基模組加入了操作性活動教具,數學在操作模組遊戲的歷程中產生,讓學生用自己的語言說出想法並轉化吸收,與傳統數學課堂中仿作老師思維的學習方式不同。尤其在遊戲中自己從做中學,覺察實用的規律,體現數學的人文之美,產生有感的學習,這樣的課堂風景除了提升了孩子的數學素養,也讓老師能在課堂中展現數學素養。
 
本文介紹第一期數學奠基活動國中組中,由作者設計的「矩形拼板」桌遊活動,希望透過在國中現場讓孩子進行這樣的學習活動,幫助學生發展出相關的數學概念,使學生對學習的數學有感。透過動手操作的方式,結合形與數的關連性,進而理解概念間的多元表徵。讓學生從具體到抽象透過實作發展,培養對概念討論的習慣,以符合未來十二年國教所重視的素養教學。

 教學活動

奠基活動的學習目標並不一定是為了學習某一完整的學習內容,而是希望在學習該完整的學習內容之前,幫助學生透過具體操作經驗或發現此學習內容所需的重要概念來奠定基礎,以利後續正式課程內容的進行,這也是「奠基」的由來。
 
一、對應學習表現
 
a-IV-6 理解一元二次方程式及其解的意義,能以因式分解和配方法求解和驗算,並能運用到日常生活的情境解決問題。
   
二、對應學習內容
 
A-8-4 因式分解:因式的意義(限制在二次多項式的一次因式);二次多項式的因式分解意義。
A-8-5 因式分解的方法:提公因式法;利用乘法公式與十字交乘法因式分解。
 
三、學習目標
 
透過以「形」表徵「數」的「矩形拼板」操作,發展「一元二次式的十字交乘因式分解」的先備具體心像,以利相關正式課程之進行。
 
四、適用時機
 
在「利用十字交乘法做因式分解」的正式課程之前,目前的學習內容是在國中八年級實施。
 
五、教具




六、活動流程
 
1、認識拼板
 
讓學生說說看這些拼板的邊長與面積。如果學生說大正方形的邊長是小正方形邊長的三倍,可以請學生放放看(如圖),讓學生透過實際操作來瞭解猜測不正確。
 
參考提問:「請同學將長方形與大小兩個正方形排排看(如下表中三圖),說說看發現什麼?」
配合操作活動:讓學生比較長方形的長、寬和大小兩個正方形的邊長關係。


2、認識任務卡

說明任務卡的意義。為了後續的討論,任務卡以(大正方形拼板數,長方形拼板數,小正方形拼板數)的形式記錄。舉例:(下面的這張任務卡,教師可以寫在黑板跟學生說明。)
 



透過例子說明,任務卡上的拼板數量要全部用完,而且矩形裡面不能空心。

3、熱身活動1


舉例:使用下面的任務卡拼出一個矩形。

這張任務卡(1,2,1)在遊戲中有兩張,因為拼板數不多,不算困難的任務,讓學生有操作的經驗,並且可以討論學生的某種迷思「正方形算是矩形嗎?」。

參考提問:「拼出來是矩形嗎?」

正方形具有矩形四個內角為直角的性質,因此拼出來是正方形符合要求。


4、熱身活動2

舉例:使用下面的任務卡拼出一個矩形。


這張任務卡(1,3,2)在遊戲中有兩張,因為拼板數不多,不算困難的任務。但是學生可拼出排法不一樣但是正確的多種矩形,因此可以藉此讓學生討論「拼法只有這一種嗎? 」。

參考提問:「下面三位同學拼出來的矩形一樣嗎?」
配合操作活動:檢查一下三個矩形的長、寬與面積。


教師結論:上方矩形的長、寬與面積都是一樣,只是拼法順序不同。
 
5. 遊戲規則
 
2~4人輪流抽任務卡,在指定時間(通常是1到2分鐘)內將指定的數個拼板拼成矩形,完成可以取得任務卡,未完成插回卡堆,換下一人。

如同一場桌遊,24張任務卡,若全部完成約半小時。






6、教學實施

經過一至兩輪的遊戲後,引導學生將任務卡(1,3,2)與拼成的矩形記錄下來,例如下表所呈現:


由上,學生分別記錄多個完成的任務卡後,可以發現面積有兩種記錄方式,一種是將各種拼板面積加總的和;或是觀察拼出來的矩形,利用長乘以寬得到面積。
 
以下是我們24張任務卡所得到的可能記錄(其中有幾張任務卡是重複)

放直或放橫的長方形拼板數依學生的排法,可能會相反,但是並不影響後續討論。
 
(1,2,1)、(1,3,2)、(1,4,3)、(1,4,4)、(1,5,4)的任務卡各有兩張,因為這幾張任務卡不難,夾雜期間可以讓學生在進行遊戲時增進參與的信心。例如幾次的活動進行中,學生完成任務時,教師詢問學生怎麼做出來的,學生的回答:「(1,2,1)在熱身活動老師示範過。」、「(1,4,3)前一輪同學有做過。」
先讓學生填完前五欄,並交替檢查,並詢問第四欄「拼板面積和」與第五欄「長寬乘積紀錄」的關係。提醒學生從拼成的圖像中分別點數放直與放橫的長方形拼板數,並記錄在第六欄與第七欄。
 
7. 學生的討論與回饋

最後依照學習單,請學生論以下幾個問題:
 
觀察你的整理,若擺成「直」的長方形地毯個數為P、擺成「橫」的長方形地毯個數為Q。

(1) P+Q會和整理表格中哪一欄(甲、乙、丙)的值相同?

參考答案:P+Q=乙欄。
 
(2) P×Q 會和整理表格中哪一欄(甲、乙、丙)的值相同?

參考答案:P×Q=丙欄。
 
關鍵提問:「觀察剛剛操作的圖卡,請小組討論為什麼會有 P+Q=乙、P*Q=丙。」
配合操作活動:檢查圖卡的位置。
 

數學奠基活動希望學生將它當成遊戲,尤其對象是對數學學習興趣低或數學表現成就低的學生,因此鼓勵他們遊戲可以多玩幾次,並且只需要他們記錄、討論,並歸納出如上的結果。實施時間只要是在十字交乘因式分解的課程之前,即使是七年級或是暑假期間,都可以將這個遊戲視為一個有趣的桌遊來發現其中的關係。

學生能在遊戲的過程中,學習到面積的不同表示方式,以探討如何從面積找出長與寬,進而發現「若p、q為兩整數,知道p×q、p+q的值,如何求p與q的值。」是找長、寬的關鍵,那這個奠基活動就達到原先的學習目標。 
 
8. 學習回饋

在活動結束後,我們會讓學生填寫回饋單,不是硬梆梆的知識學習檢視,而是想知道學生們在活動結束後情意面向的改變,以下是三個問題及學生的回應。

(1)我的感覺是什麼?




由學生的回饋可以發現,學生普遍認為這個奠基活動模組很好玩,而且完成其中的任務是讓學生感到愉快,甚至改變學生對於數學的觀感。其實每一個任務都是一個數學問題,學生能投入其中進而解決,這正是將數學具體化操作的意義。
 
(2)我覺得最有趣的是什麼?




在此可以發現學生覺得活動的趣味是在拼矩形的過程,與同學一起參與,既競爭卻也合作,而且遊戲中夾著抽任務卡的緊張氣氛,每個人所抽到任務卡的難易度是隨機決定,也增加許多趣味,甚至玩到忘記時間與彼此的競爭,只想解決任務。
 
(3)我還想要知道的是什麼?



數學奠基活動的目的,在於學習前先讓數學觀念透過遊戲,奠基在腦海中,也許活動僅止於圖像的拼合與多項式的關係呈現,但已經先引起學生對於數學學習的興趣,「有更好、更快的方法嗎?」、「這個圖形以後會用到嗎?」、「換了數字的任務卡都拼得出來嗎?」,這些學生的話語正是教學者最希望學習者在課堂裡提出的,進而發展後面課堂中的十字交乘法,甚至以後還會發現因式分解解方程式的限制,才學習配方法。

「還會不會有類似有趣的活動?」、「這個遊戲誰發明的,怎麼這麼好玩?」、「希望以後的數學課可以用這樣的方式上課。」這些言語給予設計與教學的老師非常正向的回饋,也是數學奠基活動引進數學課堂的目的。
 
七、後續的課堂教學

由於每位老師帶這個遊戲引入教室的時機不同,通常是八年級上學期第三章因式分解的第三小節,十字交乘做因式分解這個單元之前。若學生已經先學過因式分解的意義,這時候以下兩題會是很適合檢測他們遊戲活動後,是否準備好進入課堂學習。
 
 
 
從前面兩個問題的引導,就是為了將矩形拼板記錄的結果,逐漸拉回到正式課堂中的十字交乘因式分解。在具體操作上,只能用正整數例子,但是實際的數學運用是在各種數字下進行運算推理。所以將前面的圖像經驗整理出來,其實就可以學會最基本二次項係數為1的一元二次式因式分解。  

 結語

從矩形拼板這個活動,在進行過程中給了學生充分參與的有感機會,原本只是教師操作或是某一兩位同學示範,但是透過桌遊,每一個孩子都可以在數學課堂中充分參與。

從數學學習態度的面向來看,學生除了對數學活動有了興趣,在解題與答題變得較有自信,討論時不會因為同學的質疑而受到影響。即使花費多一點時間去嘗試,也願意慢慢找出規律;即使失敗,也僅視為遊戲中的運氣,而面對挫折的容忍度提高了。同學間互相幫忙完成任務卡,為了是否拼出正確的結果,彼此討論與分享自己的想法。這些可以都從學生在活動進行間的互動與回饋單的答覆看出來。
 
 參考資料

單維彰和鄭章華主編(2018)。十二年國教數學素養導向課程設計與教學案例。新北市:國家教育研究院。

教育部(2018)。十二年國民基本教育課程綱要:國民中小學暨普通型高級等校-數學領域。台北市:教育部。

鄧家駿(2018)。數學奠基活動「矩形拼板」。台北市:臺灣師範大學數學教育中心。
 
 
 
 
 
鄧家駿
臺北市立景興國中數學領域教師