有數學感的教與學—以周長和面積為例

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文/李源順

本文利用四年級學生學習長方形和正方形的周長與面積單元，說明教師如何讓學生學得完整的周長與面積概念，包括利用舉例、回想與正逆概念，了解任何周長都可以透過測量而得到，對於特定圖形的周長則不需要全部都測量便可以求得，乘法面積公式是乘法啟蒙概念的推廣，以及長、寬、周長、面積之間的關係與趨勢。希望老師了解如何培養學生帶得走的能力，以及學習數學的感覺。

前言

作者發現有些學生在學習數學時，沒有整體的感受，因此數學概念的學習時常流於片段，而沒有全面性的了解。因此，作者藉一位新北市四年級教師有關周長與面積的教學，說明如何讓學生學得整體的概念。

教學過程

一、準備活動

因為周長是周界的長度；周界則是將平面分為內部和外部兩個區域的封閉線段，這個概念在三年級已介紹過。因此老師在教學時，先利用單元名稱複習周界和周長的概念，進而了解任何圖形的周界都可以透過複製或者測量而得到，只是曲線段的周界要先複製再測量，直線段可以直接用尺量，直線段在測量時比較精準。

二、發展活動

1、長方形的周長

老師利用長方形讓學生實測，並了解兩雙對邊等長的屬性，進而連結不同做法，讓學生了解長方形只要測量兩邊即可，不需要四邊都測量。

2. 長方形周長的逆概念

從逆概念著手，讓學生利用舉例（數學感教學策略的第一個核心內涵），發現周長相同的長方形不是只有一個；也了解逆概念的問題，其思考方向也是相反的後設認知（第五個核心內涵）。

3. 正方形的周長與逆概念

教科書在進行周長的教學時，時常從比較簡單的正方形再到長方形。作者認為正方形和長方形周長的概念難易度差異不大，因此可以從比較難的長方形入手，再特殊化到正方形；如此可以節省學生建構概念的時間。同時也能評量長方形的正、逆概念問題學生是否能察覺進而內化。

4、長方形與正方形的面積

長方形面積公式的來源是從點算多少個一平方公分，再一般化、連結到乘法公式的概念推廣。老師應所有的學生發現面積的乘法與以前所學的乘法啟蒙概念不相同。

和周長的概念相同，正方形面積公式是長方形面積公式的特例，其解釋方式相同，難度差異不大，因此作者建議先教長方形面積公式再特殊化到正方形。

5、邊長、周長、面積的統整

我們應該養成學習有系統學習的習慣，也就是前面探討過長方形的長、寛、周長關係，現在又學了面積，便可以把它們整合在一起去探討長方形的長、寛、周長和面積的關係；正方形亦同。同時發現長方形周長相等時，面積的變化，反之亦然。

6、綜合活動

在綜合活動時，老師可以要求學生說明這個單元所學的內容，以及概念性的解釋方式。若老師覺得有必要，也可以將長方形與正方形問題進行對比，讓學生了解其中的異同。

結論

要學生學得有數學感，老師應讓學生從舊經驗的具體操作，學得完整的周長與面積概念，包括利用舉例、回想、以及正逆概念的系統性思維；了解任何周長都可以透過測量而得到，對於特定圖形的周長則不需要全部都測量便可以求得，乘法面積公式是乘法啟蒙概念的推廣，以及長、寬、周長、面積之間的關係與趨勢。希望老師了解如何培養學生帶得走的能力，以及學習數學的感覺。

李源順
臺北市立大學數學系教授