文/鄧家駿
買房子需要一筆龐大的費用，除了自己原先準備的「自備款」外，剩下的錢都需要跟銀行「貸款」，也就是跟銀行「借錢」，借錢後，如何「還錢」的方式，正是我們在這邊想要用數學來討論的。
一般來說，我們借的錢稱為「本金」，因此還錢也是還本金。如果借了一大筆錢，又隔了一段時間才還錢，銀行沒有任何獲利，那銀行如何會願意讓你貸款呢？因此跟銀行貸款，是需要繳付「利息」。
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單利與複利
存錢到銀行和向銀行借錢這兩個行為其實是一樣，只是兩個對象相反。如果是小量存錢（本金）到銀行，銀行依據本金計算利息來讓小量獲利。若是小量跟銀行借錢（本金），依據本金計算利息來跟小量收取，以讓銀行獲利。由於本文以借錢為標，因此我們來看看銀行如何收取利息。
為了後面討論的方便，因此我們先將本金訂為3,600元，年利率為12％（一年後計算利息一次），跟銀行借錢期間3年（借錢期間計利3次）。以方便我們計算與討論。
一般來說，利息的計算有兩種，單利與複利。
單利是不論付息期間是多久，得到的利息均不會加入本金再循環計算利息，也就是說計算利息的本金從一開始到最後都是一樣的。
複利是每次計算利息時，要將之前產生的利息加入原先的本金作為下期的計算利息的新本金。可以說利息變成新的借錢。
以小量為例，如果每次計算利息時，他都將利息還掉，本金沒有增加，就是單利；若他選擇先不還，自然累積到新的本金計算，成為複利。
單利與複利在實際狀況時，差別如下。
單利：
複利：（在此時，我們會需要用到指數記法與等比數列）
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問題1：單利計算還是複利計算，所需還款的總額較高？
同樣小量借款3,600元，由於每次先還利息，單利最後共還給銀行4,896元；但如果借款3,600元，利息不還繼續累積到新本金，複利最後共需還5,057.7408元。因此如果經濟允許之下，應該每月至少將利息還掉，才是務實的還款方式。
從上面的分析可以看到，當本金P，利率i，借錢期間計利n次。
因此以數學來看，如果每次計算利息時不還，就會造成新本金的累積，計算的利息當然比原本金高，因此還款的總額也會增加，這也正是等比數列的威力。
問題2：本金P，利率i，借錢期間計利n次，那個因素影響最大呢？我們可以將前面的數據分別放大兩倍。
可以發現本金增加，的確會影響利息，但是比起利率的增加，其實也還好，至於借錢期間的加倍，造成的影響更是可怕，尤其後兩者借到的本金並沒有增加，只是因為利息或其間的加倍。同學們可試想每個因素分別調成原本10倍，會如何？
可以繪製圖表關於不同因素的增加（三個圖），對利息的影響。
問題3：現在銀行雖然公布的是年利率，但是通常是每月計息一次，請同學想想每月計息得到的結果與原先每年計息是否不同？
同樣的借錢期間3年，因為每月計息一次，所以年利率12%需更改成月利率12%÷12＝1%，借錢期間每月計利共36次。
你發現什麼？比起原本每年計息一次，依年利率12%的計算得到的5,057.7408元，還需多繳93.28元。計利次數n對於利息的影響遠大於利率 
。
同樣的借錢期間3年，調整成每日計息一次，所以年利率12%需更改成日利率12%÷365＝0.033%，借錢期間每日計利共365×3=1,095次。
從這邊可以發現銀行如何獲利了嗎？一般我們存錢在銀行得到的利率比我們跟銀行借錢的利率低一些，而且我們存款時的計利方式通常是半年一次或一年一次，但是當我們貸款時的計利方式卻是每月一次。在利率的差異以及計利次數的增加，銀行就能賺取其中的差價。
本金平均攤還與本息平均攤還
歸根究底，借了錢就需要還錢，除了利息，本金也是要還的，尤其利息是利用「本金×利率」得到，既然利率無法降低，只能從減少每次計息的本金做起。因此目前銀行除了本金到期一次償還的方式，還有本金平均攤還、本息平均攤還兩個方式。我們再透過數學來討論兩個方法的想法與「眉角」(即竅門)。
「本金平均攤還」，就是本金平均在借錢期間償還，利息則按貸款餘額逐期計算。因此每期償還的本金都一樣，而應繳利息則隨著尚未攤還的本金逐漸減少。
「本息平均攤還」，將借錢期間的「全部本金與利息」，平均分攤到每一期償還。
兩個方式的不同處在於，每月還的本金前者固定，後者不固定；而每月還的錢，前者會隨著本金而減少，後者則是以每月還一樣多的錢。
根據前面的條件，本金訂為3,600元，年利率為12％，跟銀行借錢期間3年。考量每個月還一部分錢，因此每月計算利息一次（以月利率1％），共計算利息36次。我們來比較以下兩種還錢方式：
一、本金平均攤還
每個月還的本金相同，3,600÷36＝100，利息每個月依據剩餘的本金計算。
1個月後， 還100＋3,600×1％＝136元。
2個月後， 還100＋3,500×1％＝135元。
3個月後， 還100＋3,400×1％＝134元。
36個月後，還100＋100×1％＝101元。
隨著每個月還本金，每個月利息會逐漸下降，因此每月的還款金額也會逐漸減少。
二、本息平均攤還
每個月固定還C元，很抱歉，現在我也還不知道，要怎麼得到C值。
