有數學感的教與學:以雞兔同籠為例



文/李源順


本文利用類似雞兔同籠的問題說明嘗試錯誤、有規律嘗試錯誤、邏輯推理、代數解法之間的關聯及重要性。讓老師更清楚如何培養學生帶得走的能力,以及學習數學的感覺。

 前言

雖然台灣學生在國際評量的數學成績名列前矛名列前茅,但學生對數學的喜好程度卻是不佳。作者提出有數學感內容理論的知識系統,一個起動機制、五個核心內涵的教與學策略,以及多元優選的教學理念,希望老師能教得有感覺,學生學得有感覺。為了讓大家了解作者的理念,在此以雞兔同籠為例,向大家說明有數學感的教與學。

有些人可能會想為什麼數學家那麼無聊,怎麼會把雞和兔關在同一個籠子裡裏面?作者認為數學家是想藉由這樣的問題培養學生的邏輯推理能力;假如雞兔同籠的問題在生活中不常出現,老師可以改變情境讓問題變得更合理一點。例如某停車場的轎車和機車數量,和輪子數量問題,或者老師買紅茶和珍珠奶茶請同學的數量與價錢問題。

 正、逆概念

正、逆概念是作者所提出的數學感重要內容理論之一;例如減法就是加法的逆概念、除法是乘法的逆概念;「小明有5張卡片,小英有3張卡片,兩人共有多少張卡片?」是正向的問題;「小明有5張卡片,小英有一些卡片,兩人共有8張卡片,問小英有多少張卡片?」就是逆向的問題;「一個長方形的對角線等長且互相平分」是正命題,「對角線等長且互相平分的四邊形是長方形」就是它的逆命題。類似上面的問題,作者都將它統稱為正、逆概念。

一、正向問題與解答

對於雞兔同籠的問題,在生活中較常碰到的是正概念問題「一輛轎車有4個輪子、一輛機車有2個輪子,某停車場停了11輛轎車、5輛機車,問停車場上的輪子有多少個?」或者「一杯紅茶20元,一杯珍珠奶茶30元,老師買了5杯紅茶,11杯珍珠奶茶請班上同學,共需付多少錢?」

面對這類的問題,學生很容易把答案算出來,因為我們知道一輛轎車、機車有多少輪子,也知道有多少輛轎車、機車,因此可以分別算出轎車、機車的總輪子數;答案只要再加總即可,也就是有4×11+2×5=54個輪子。老師買飲料的問題也是,共要付20×5+30×11=430元。

二、逆向問題與解答

在數學的學習上,我們會用逆概念、逆向的問題來培養學生的邏輯推理能力。某縣市輔導團在某次公開課的教學問題:「一輛轎車有4個輪子、一輛機車有2個輪子,某停車場停了16輛車,共有54個輪子,問停車場上有多少輛轎車?多少輛機車?」或者新北市某小學的公開教學問題「一杯紅茶20元,一杯珍珠奶茶30元,某老師用430元買16杯的紅茶或珍珠奶茶請班上同學喝,問老師買了幾杯紅茶?幾杯珍珠奶茶?」則是上面兩個問題的逆概念。作者在此以輪胎問題來說明可能的解法以及解法之間的連結,之後再闡述教師如何進行有數學感的教學,以及如何培養學生帶得走的能力。

團員的教學是先讓學生個別解題,發現同學生有不同的解法。因此團員讓學生討論各種不同的解題策略。

1. 嘗試錯誤

我們發現到圖1學生的做法中,雖然最後答案的對的,但他列的二元一次方程式在計算過程中沒有太大的用處;2+4=6, 54÷6=9的意義則是算出9輛轎車和9輛機車總共有54個輪子;之後再利用嘗試錯誤(try and error)的方法找到答案。圖二學生的做法是先利用畫表格嘗試錯誤的方式,找到總共有11輛轎車和5輛機車;左邊的算式4×13-(4×2)=52-8=44在告訴我們他先試13輛轎車發現要減掉2輛轎車才對;54-44=10,是在在算剩下的是機車的輪子;10÷2=5,是在算有5輛機車。

圖1和圖2學生的做法是利用嘗試錯誤的方法找到答案。嘗試錯誤找答案的方法在數學解題上也是一種非常重要的方法。作者認為每位老師、學生都應該知道有這種解題方法,因為當我們碰到不會的問題,毫無頭緒去思考的問題,至少可以使用嘗試錯誤的方法來找答案。同時學生也應該知道嘗試錯誤的方法就是原來正向思考的方法,先假設知道轎車有多少輛,剩下的就是機車有多少輛,然後把所有的輪子數算出來,看是否符合原來的問題;若不符合就再試另外一種情形。

圖1. 嘗試錯誤法例一


圖2. 嘗試錯誤法例二

2、有規律的嘗試錯誤

作者希望所有的老師、學生都要知道,當我們在嘗試錯誤找答案的過程中,也要有規律嘗試錯誤,來找答案。圖3右半邊列表找答案的方法就是一種有規律找答案的方法;學生是先固定車子總數,再用正向解題的方法試驗輪子數是否相同。也就是假設有16輛轎車、0輛機車,有64個輪子,不對;因此把轎車數減一(有15輛),機車數加一(有1輛),有62個輪子,……依此下去;便發現11輛轎車和5輛機車的輪子數是54個。

有規律嘗試錯誤的方法不是只有上述一種方法,學生也可以假設所有的車子都是機車,先算出16輛機車共有32個輪子,再機車數減一,轎車數加一,來找答案。學生也可以用對半的方法,先假設轎車和機車各有8輛,共有48個輪子,發現還有多的輪子,因此把轎車數再加一、機車數減一,來找答案。

圖3. 嘗試錯誤法與邏輯推理


圖4. 邏輯推理

3. 從有規律嘗試錯誤中找到推理方法

我們希望所有老師、學生都要知道,邏輯推理的方法就是從有規律的嘗試錯誤過程演化而來。例如圖3三左半邊16×4=64就右半邊的先假設所有的車子都是轎車的輪子數,64-54=10就是假如所有的車子都是轎車會多出10個輪子;10÷2=5,其中的2就是每少一輛轎車、多一輛機車會少掉2個輪子(這個規律可以從列表找規律的輪子數那一行發現;或者一輛轎車比一輛機車多4-2=2個輪子);也就是少5輛轎車、多5輛機車就是少10個輪子;因此共有5輛機車,16-5=11輛轎車。圖四的學生則是先假設所有的車子是機車,發現少了54-16×2=22個輪子;22÷2=11則是把多的22個輪子,改成每換一輛多2個輪子的11輛轎車數。

4. 連結代數方法

因為六年級學生已學習利用未知數列式,有些安親班也會教學生利用代數方法解題。因此所有老師和學生也應該知道代數方法和推理方法之間的關聯。

圖5中假設機車有x輛,方程式2x+4×(16-x)=54,就是x輛機車和16-x輛轎車的輪子數是54個;下一列中的64(即4×16=64)就是假設所有的數量都是轎車數量;2x-4x(即-2x)就是x輛機車比x輛轎車少掉2x個輪子; 64-2x=54,就是64個輪子少2x輪子要剛好等於54個輪子的意思;但學生沒有等量公理的方法算出答案,最後只給答案而已。,因此學生是否能真正使用代數方法解題,老師需要多留意。圖6六則是另一種的代數解法,先假設轎車有x輪,方程式4x+2×(16-x)=54,就是x輛轎車和16-x輛機車的輪子數是54個;下一列中的32(即2×16=32)就是假設所有的數量都是機車數量;4x-2x(即2x)就是x輛轎車比x輛機車多2x個輪子; 32+2x=54,就是32個輪子再多2x輪子要剛好等於54個輪子的意思。

圖5. 代數法--一元一次方程式例一


圖6. 代數法--一元一次方程式例二

 有數學感的教與學

數學感的理論希望學生在數學解題的過程中,不僅知道問題的答案,還希望學生了解解題的方法,培養他面對新的問題和、沒有看過的問題時,有方法可以思考、求得解答、甚至發現新的解題方法。這種新的解題方法不是別人告訴他,而是他可以從舊的解題方法中發現、找到。

作者希望老師能讓所有的學生了解:(1). 雞兔同籠的問題就是一般正向問題的逆向問題而已,同時數學上也時常出現類似的正、逆概念問題。。(2).對於雞兔同籠問題或者面對他們沒有碰過的問題,老師應讓所有學生了解嘗試錯誤的方法也是一種重要的解題方法,也是一種可以使用的解題方法,只是它可能比較沒有效率;作者建議若碰到學生用這種方法解題,老師也應加以肯定,讓學生可以站在他會的基礎上去學習新的方法。。(3). 同時讓沒有進行規律嘗試錯誤的學生,發現有規律嘗試錯誤方法的重要性。(4). 讓有進行規律嘗試錯誤找答案的學生,發現邏輯推理的方法就是從有規律的嘗試錯誤的過程中找到推理解題的方法;此時老師可以回頭問那些使用嘗試錯誤方法的學生是否了解、發現邏輯推理的方法和他的方法只是一線之隔而已。作者相信這樣的教學方法可以提升原來使用嘗試錯誤法的學生學到推理的方法。(5). 從邏輯推理的方法連結到代數解題的方法,讓使用邏輯推理方法的學生了解來代數解題的方法和他使用的方法的相同之處,有助於這些學生從算術思維過到代數思維。

老師們試想一下,我們的學生應不應該學到這些不同的解題思維方法?這樣的教學應不應該提升不同程度學生往更高層次的解題方法走?假如我們的學生知道可以使用不同的解題方法,站在他會的基礎上學到其他的方法或者我們希望學生學習的方法,這樣的教與學,是不是更有數學的感覺?

因為教學方法有很多,作者認為只要老師能說明清楚他的教學意圖就可以了。因此當老師會碰到不會解答的學生,老師要如何處理,例如先將錯誤的方法公開給全班同學看,或者不公開而私下進行教學;只要老師有自己的想法,例如想製造學生的認知衝突、不想讓學生的自尊心受到傷害,作者我都同意。但是更重要的是,要讓學生明白他自己在算什麼,而不是看到數字就拿來亂湊。例如,讓圖7七的學生解釋:(1). 他為什麼要把4和2加起來?加起來意思是什麼?讓學生了解加起來的意思是在算一輛轎車和一輛機車的輪子數。(2). 問學生為什麼要54÷6=9?這樣算的意思是什麼?讓學生了解這樣算的意思是總共有9輛的轎車和9輛的機車。(3).問學生9輛的轎車和9輛的機車的答案為什麼不對?學生了解他的答案是不符合題目給的條件:轎車和機車的數量是16輛,可是他的答案是18輛。

也就是解答錯誤的學生,有一種可能原因是他沒有把所有的條件都用上,或者沒有符合所有的條件,只是他自己不知道而已。

圖7. 解題錯誤

 逆概念的再延伸

假如我們的學生了解原來數學問題可以分成正向問題和逆向問題,我們的學生的思維會活了起來。面對作者所提的第二個問題他可能會想,知道:(1)紅茶價錢和數量、珍珠奶茶價錢和數量,可以算出總共要付多少元。(2)知道紅茶價錢、珍珠奶茶價錢、紅茶與珠珍奶茶的總數量、以及總共付出的錢數,便可以算出紅茶與珠珍奶茶分別的數量。

學生便有可能思考:(3)假如知道紅茶數量、珠珍奶茶數量、以及總共付出的錢數,可不可以算出紅茶與珠珍奶茶分別的價錢?例如「老師買了5紅茶,11杯珍珠奶茶請班上同學,共付了430元。問一杯紅茶、一杯珍珠奶茶多少元?」假如老師的學生會這樣問,老師要好好獎勵學生,作者也要好好獎勵老師,老師已把我們的學生教活了,學生已會主動思考了。

因為這個問題的答案有很多可能,例如珍珠奶茶一杯20元,紅茶一杯42元;珍珠奶茶一杯30元,紅茶一杯20元;……。這類的問題正好可以讓學生知道有一些問題的答案不是只有唯一一個。

當然老師也可以讓學生想一想再多什麼條件,它的答案便會唯一?

 結論

雞兔同籠問題是一個逆概念的問題,作者希望所有老師和學生都了解它的解題策略有(有規律)嘗試錯誤、邏輯推理、代數,以及這些方法之間的關聯;都能因此而找到數學教與學的感覺;甚至拓展我們的思維,創新出新的問題。




 李源順
臺北市立大學數學系教授