益智遊戲易位棋中的數學思維






文/李源順


有些益智遊戲除了培養學生的邏輯推理能力之外,也很適合用來讓學生體會數學解題的思維歷程。為了培養學生帶得走的能力,以及學習數學的感覺,本文利用易位棋的教與學來說明如何培養學生的數學解題思維歷程,包括:(1)在規定的走法下,每一次可以走的情形只有4種;(2)在走最少步驟的要求下盡可能不往回走(包括不能走前一步的回頭路);(3)使用邏輯推理發現剩下唯一一種走法;(4)不能讓走過的同顏色棋子連續在一起;(5)在走一半的步驟之前要讓不同顏色的棋子相互間隔的規律;以及(6)後一半的走法是前面走法反過來。

前言

易位棋(網址: http://www.mtedu.utaipei.edu.tw/forum.php?mod=viewthread&tid=1583)是一個益智遊戲,它非常適合讓學生在動手玩的過程中體會數學解題思維的重要歷程,包括依據什麼因素有規律的嘗試錯誤和進行邏輯推理。本人在讓大學生和在職教師玩時,發現大學生和老師一開始都是毫無目的的在嘗試錯誤,然後發現規則後,變記憶規則,接著就用規則玩遊戲,很少看到大學生和老師利用邏輯推理進行遊戲。雖然大學生和教師可以歸納最少步驟的公式,但是沒有察覺到推導公式的關鍵概念。本文利用多元優選的理念說明老師應該如何指導學生在動手玩的過程中建構和利用邏輯推理、發現關鍵概念的數學解題思維。希望學生能將益智遊戲中學到的解題能力,能運用來進行數學解題和生活問題的解決。

圖1. 讓孩子上台體驗如何以最少的步數移動棋子

易位棋的規則

一般的易位棋是在一直線上左、右兩邊分別擺相同數目的黑色和白色(或者其他顏色)棋子,中間空一個空位。目的是:使用最少的步數,將左、右兩邊的棋子對調,如下圖,一開始左、右兩邊分別是黑色、白色的棋子,最後要變成左、右兩邊分別是白色、黑色的棋子。走法是:(1)每一步只能走一個棋子,(2)棋子只能走到旁邊的空格,或者跳一個棋子到旁邊的空格。

本人的實務經驗發現,有些學生剛開始玩時,對於規則沒有真正了解;此時老師可以在學生開始玩之前,先讓學生小組討論規則與目的,或者開始玩的時候留意有那些學生不懂規則,再適時說明規則。

動手玩、學解題思維—多元優選

在讓學生動手玩時,一開始老師可以在說明遊戲的目的以及走法之後,先讓學生自己玩,老師再觀察、了解學生的思考歷程,進行多元優選的策略指導。

假如學生能順利完成,老師可以請已經完成的學生說一說他是怎麼完成的?老師可以鼓勵、肯定學生的說明,再依據學生是否提及下面的關鍵概念,適度補充說明下列理想的學生回答內容 : (1)每一次可以走的情形只有4種(包括一開始的對稱概念);(2)在走最少步驟的要求下盡可能不往回走(包括不能走前一步的回頭路);(3)使用邏輯推理發現剩下唯一一種走法;(4)不能讓走過的同顏色棋子連續在一起;(5)在走一半的步驟之前要讓不同顏色的棋子相互間隔的規律;(6)後一半的走法是前面走法反過來。假如學生無法完成或者學生沒有辦法說明,老師可以使用邊操作邊引導的方式,讓學生了解、發現上面提及的關鍵概念。假如學生對於上面的關鍵概念說得不清楚,教師可以適時補充,讓學生清楚地了解上面的思維。

圖2. 李源順教授指導下易位棋

一、易位棋的教與學

教師教學過程以及理想的學生回答條列如下表:

老師可以和學生討論為什麼這樣做就是最少的步數。它的主要原因是在於,假如允許往後退再前進,就會多出步數出來;所以在不往後退、不讓連續二個以上的棋子連在一起的情形下,這時候只有唯一一種走法,因此它是最少步數。


二、推導最少步驟的公式

本人發現,即使是大學生和老師聽懂我講的關鍵概念,因為習慣使然,他們還是會去記憶規則--讓不同顏色的棋子間隔排列。因此老師可以把棋子數加一,再讓學生玩5, 6, 7, ……個棋子,了解是否有更多的學生能完成,老師也可以抽問學生他走每一步的想法,以了學生是否能利用上面的邏輯推理來走。這樣,學生才不是背走法的公式。

等學生可以完成之後,再讓學生推理出不同棋子數的最少步數公式。本人發現大學生和老師看到:左、右各是4 ,5, 6, 7, 8個棋子的最少步驟是24, 35, 48, 63, 80時,都能很快推理出公式,但是他們比較無法利用關鍵概念--走黑色或白色、走一格或跳一格,來推理出公式。


結語

易位棋的遊戲很適合讓學生學習、體會解題的歷程,讓學生的學習有數學感。本人建議低年級的老師可以在放寛條件的情形下先讓學生玩,例如在現有的規則下,只要能把左、右的棋子對調即可;等學生可以完成,再讓學生提高棋子數目。中年級學生若先前沒有完過,老師可以先用低年級的方法,再適度要求使用最少步驟完成,讓學生觀察、發現部份的關鍵概念。高年級老師則可以再加上要求學生邏輯推理導出公式;假如學生的能力足夠,老師也可以提問學生「這種易位棋還可以怎麼改變(推廣)玩法」,讓學生發現左、右兩邊的棋子數可以變成不一樣多,例如左邊5個,右邊7個。看學生是否也能順利完成,以及推導出公式。

本人換另一些益智遊戲讓大學生和老師時,發現他們忘了利用前面所學到的推理方法來玩新的遊戲。因此本人建議老師可以再使用河內塔(網址: http://www.mtedu.utaipei.edu.tw/forum.php?mod=viewthread&tid=1590)、分酒(http://www.mtedu.utaipei.edu.tw/forum.php?mod=viewthread&tid=1575)等益智遊戲讓學生養成利用邏輯推理來玩遊戲的習慣。相信這種邏輯推理的習慣,可以讓學生更能順利的進行數學解題,將來對學生面對生活問題的挑戰時,也能夠運用邏輯推理來解決問題。

圖3. 對於線上對弈軟體激發孩子的數學學習興趣





李源順
臺北市立大學數學系教授